微练(二十) 导数与不等式恒成立-【赢在微点】2024高考数学大一轮复习顶层设计核心微练word（新教材新高考)

微练(二十)　导数与不等式恒成立 1.(2023·大同模拟)已知函数f(x)=x(mex-1)。 (1)当m=1时,求函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程; (2)当x>0时,f(x)≥x2-2x,求实数m的取值范围。 解　(1)当m=1时,f(x)=x(ex-1),则f(1)=e-1,由f'(x)=ex-1+xex,可得f'(1)=2e-1。所以函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(2e-1)(x-1),即(2e-1)x-y-e=0。 (2)由x(mex-1)≥x2-2x及x>0,得m≥。令g(x)=(x>0),则g'(x)=,当x∈(0,2)时,g'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以2是g(x)的极大值点,也是g(x)的最大值点,即g(x)max=g(2)=,所以m≥。故m的取值范围为。 2.已知函数f(x)=(x+a-1)ex,g(x)=x2+ax,其中a为常数。若对任意的x∈[0,+∞),不等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围。 解　令h(x)=f(x)-g(x),由题意得h(x)min≥0在x∈[0,+∞)上恒成立,因为h(x)=(x+a-1)ex-x2-ax,所以h'(x)=(x+a)(ex-1)。 ①若a≥0,则当x∈[0,+∞)时,h'(x)≥0,所以函数h(x)在[0,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=a-1,则a-1≥0,得a≥1。 ②若a<0,则当x∈[0,-a)时,h'(x)≤0;当x∈[-a,+∞)时,h'(x)≥0,所以函数h(x)在[0,-a)上单调递减,在[-a,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(-a),又因为h(-a)<h(0)=a-1<0,所以不合题意。综上,实数a的取值范围为[1,+∞)。 3.(2023·沈阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+sin x,g(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且g(x)=ax+-2(a>0)。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对于∀x1∈[-1,1],∃x2∈(0,+∞),使得f(x1)>g(x2)成立,求实数a的取值范围。 解　(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2-sin x,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=-x2+sin x,又f(0)=0,所以f(x)= (2)由题意得f(x)min>g(x)min。当x∈[0,1]时,f'(x)=2x+cos x>0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,又因为f(x)是[-1,1]上的奇函数,所以f(x)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-1-sin 1。对于g(x),因为a>0,x>0,所以ax+-2≥2-2,当且仅当ax=,即x=时等号成立。所以g(x)min=2-2,所以-1-sin 1>2-2,整理得a<,所以实数a的取值范围是。 4.(2023·昆明市质量检测)已知函数f(x)=1-,a≠0。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a>0时,exf(x)≥aln(ax)-ax2,求a的取值范围。 解　(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=-=。 ①若a>0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增。 ②若a<0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(0,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减。 (2)由题意知x>0,exf(x)≥aln(ax)-ax2,即ex≥aln(ax)⇔≥ln x+ln a⇔≥ln x+ln a⇔ex-ln a-ln a≥ln x⇔ex-ln a+x-ln a≥x+ln x⇔ex-ln a+x-ln a≥eln x+ln x。令g(x)=ex+x,则上述不等式转化为g(x-ln a)≥g(ln x),因为g(x)=ex+x在(-∞,+∞)上单调递增,所以x-ln a≥ln x,即ln a≤x-ln x。设h(x)=x-ln x,则h'(x)=1-=,当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增。所以h(x)min=h(1)=1,则ln a≤1,故0<a≤e。所以a的取值范围为(0,e]。 5.已知函数f(x)=ex+bx(e为自然对数的底数)。 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若b=1,当x2>x1>0时,f(x1)-f