专题8.7 抛物线（讲+练）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第八章 平面解析几何 专题8.7 抛物线 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3.了解抛物线的简单应用． 考点一　抛物线的定义及应用 考点二　抛物线的标准方程 考点三 抛物线的几何性质 1．抛物线的概念 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 常用结论 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 题型一 抛物线的定义及应用 1．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．1 2．抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 3．动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 4．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上且纵坐标为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 5．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 题型二　抛物线的标准方程 6．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 8．一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）      A． B． C． D． 9．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于x轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的几何性质 11．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若两点的横坐标之和为3，则（    ） A．5 B． C． D．4 12．抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（    ） A．2 B．1 C． D． 13．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过C上一点A作l的垂线，垂足为B.若，则的外接圆面积为（    ）. A． B． C． D． 14．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 15．已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则m的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．8 6．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．抛物线的焦点，点在抛物线上，且，的延长线交轴于点，若为线段FN的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D．6 8．石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如图，