专题8.6 双曲线（讲+练）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第八章 平面解析几何 专题8.6 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3.了解双曲线的简单应用． 考点一　双曲线的定义及应用 考点二　双曲线的标准方程 考点三 双曲线的几何性质 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，半实轴长：a，半虚轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 题型一 双曲线的定义及应用 1．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 3．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 4．如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．已知两定点，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是 A． B． C． D． 题型二　双曲线的标准方程 6．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 7．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则m=（　　） A． B．1或2 C．1或 D．1 8．双曲线的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 9．若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线一条渐近线为，下焦点到下顶点距离为1，则该双曲线方程为（    ）    A． B． C． D． 10．若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 题型三 双曲线的几何性质 11．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（    ） A．5 B．16 C．21 D．26 13．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．若双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（    ） A．5 B．16 C．21 D．26 13．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 14．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．双曲线：的右顶点为A，点A到直线距离为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D．