专题1.5 直角三角形的边角关系章末八大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.5 直角三角形的边角关系章末八大题型总结（培优篇） 【北师大版】 【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】 1 【题型2 在网格中求锐角三角函数值】 2 【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】 3 【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 3 【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】 5 【题型6 灵活运用已知条件解直角三角形】 5 【题型7 解双直角三角形】 6 【题型8 解直角三角形与四边形的综合应用】 7 【题型1 利用设参数法求锐角三角函数值】 【例1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，，于点，，则 ．    【变式1-1】（2023秋·广西贺州·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，，则菱形的周长为 ． 【变式1-2】（2023秋·山西运城·九年级统考期末）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为 ．    【变式1-3】（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，在中，，，分别在上，点在内．若四边形是边长为的正方形，则 ． 【题型2 在网格中求锐角三角函数值】 【例2】（2023·湖北省直辖县级单位·校联考模拟预测）如图是个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角 为，点，，，都在格点上，且线段，相交于点，则的值是(    )    A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．    【变式2-2】（2023秋·上海·九年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，使点落在射线AC上，则的值为 ．    【变式2-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 特殊角的三角函数值的计算与应用】 【例3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）计算： 【变式3-2】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算： (1)； (2) ． 【变式3-3】（2023秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）在中，，则的形状是 ． 【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 【例4】（2023·江苏·九年级江阴市祝塘中学校考阶段练习）如图，长度为5的动线段AB分别与坐标系横轴、纵轴的正半轴交于点A、点B，点O和点C关于AB对称，连接CA、CB，过点C作x轴的垂线段CD，交x轴于点D (1)移动点A，发现在某一时刻，△AOB和以点B、D、C为顶点的三角形相似，求这一时刻点C的坐标； (2)移动点A，当时求点C的坐标． 【变式4-1】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图像上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·江苏连云港·九年级专题练习）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，，，将绕点O顺时针旋转一个锐角度数至，此时反比例函数刚好经过，的中点，则 ． 【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，． （1）求直线的解析式； （2）在线段上有一点P，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在直线的第一象限上取一点D，连接，若，，求点D的坐标． 【题型5 锐角三角函数与一元二次方程的综合应用】 【例5】（2023·全国·九年级假期作业）已知，则一元二次方程解的情况是（    ） A．有两个相同的实数根 B．有两个不同的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式5-1】（2023秋·山东东营·九年级校联考阶段练习）关于的一元二次方程=0有两个相等的实数根，则锐角 ． 【变式5-2】（2023·北京朝阳·九年级专题练习）α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（