精品解析：福建省福州格致中学2024届高三上学期期中考试数学试题

福州格致中学2023–2024学年第一学期期中 高三数学质量检测 （完卷时间：120分钟 全卷满分：150分） 一、单选题（每小题5分） 1 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 满足等式的集合X共有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知，命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在区间的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 在中，，D为BC中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，恒成立，则实数k取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分） 9. 已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ） A. 与为共面直线 B. 平面∥平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 与平面所成角的正切值为 12. 将两圆方程作差，得到直线的方程，则（ ） A. 直线一定过点 B. 存在实数，使两圆心所在直线的斜率为 C. 对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直 D. 过直线上任意一点一定可作两圆切线，且切线长相等 三、填空题（每小题5分） 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知点和，P为直线上的动点，则的最小值为__________． 15. 椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________. 16. 函数的部分图象如图所示，若，且，则___________，___________. 四、解答题（17题10分，18-22题每题12分） 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值及函数的单调递减区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若在上至少含有10个零点，求的最小值. 18. 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 19. 已知数列满足. （1）证明为常数列，并求数列的通项公式； （2）设为数列落在区间内的项的个数，求数列的前项和. 20. 如图，在三棱锥中，平面，，，是的中点，为上的动点． （1）证明：平面 平面； （2）平面时，求平面与平面夹角的余弦值． 21. 已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 22. 已知函数. （1）讨论的单调性; （2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州格致中学2023–2024学年第一学期期中 高三数学质量检测 （完卷时间：120分钟 全卷满分：150分） 一、单选题（每小题5分） 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求出复数，从而可求出 【详解】由，得， ， 所以， 故选：B 2. 满足等式的集合X共有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的实数根可得集合，则，由集合的并集与元素的关系即可得符合条件的所有集合. 【详解】解：方程的实数根有，解集构成的集合为， 即，则符合该等式的集合为，，，， 故这样的集合共有4个. 故选：D. 3. 已知，命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，利用集合间的关系即可求解. 【详解】为真命题，则，故， 由于，所以是