广东省广州市空港实验中学2024届高三上学期期中数学试题

2023学年第一学期广州空港实验中学高三期中测试数学 本试卷共6页，22小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则复数（ ） A. 或－1 B. C. －1 D. 4. 若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 15 D. -15 5. 已知向量，，设，的夹角为，则（ ） A B. C. D. 6. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为（ ） A. 180里 B. 170里 C. 160里 D. 150里 8. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一个对称中心 C. 是图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，命题，命题，则命题p是命题q的充分不必要条件 B. 当时，的最小值是5 C. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 D. 若随机变量，则 11. 已知，，，则下列关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知正方体的各顶点均在表面积为的球面上，为该球面上一动点，则（ ） A. 存在无数个点，使得平面 B. 当平面平面时，点的轨迹长度为 C. 当平面时，点的轨迹长度为 D. 存在无数个点，使得平面平面 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若，，则______． 14. 将甲、乙、丙、丁四人安排到篮球与演讲比赛现场进行任务工作，每个比赛现场需要两人，则甲、乙安排在一起的概率为______． 15. 设函数在单调递增，则的取值范围为______________． 16. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为______． 四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 18. （理）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：三级为合格等级，为不合格等级. 百分制 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 等级 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.， （1）求和频率分布直方图中的的值； （2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率； （3）在选取的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC中点，作交PB于点F. （1）求证：平面EDB； （2）求证：平面EFD； （3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 20. 已知数列满足，且. （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）已知数列满足，求的前项和. 21. 已知函数的图象在处的切线方程为． （1）求； （2）证明：只有一个极值点． 22. 已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且. （1）求C的方程； （2）已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直. 2023学年第一学期广州空港实验中学高三期中测试数学 本试卷共6页，22小题，