精品解析：浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

绍兴一中2023学年第一学期期中考试 高二（数学）试卷 一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 2. 已知过、的直线与过、的直线互相垂直，则点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 3. “圆”是中国文化一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（ ） A. 1.2m B. 1.3 m C. 1.4 m D. 1.5 m 4. 已知抛物线的焦点在圆上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（ ） A. 72 B. 80 C. 88 D. 100 6. 已知双曲线的左焦点为F1，M为C的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，由点P射出的部分光线被椭圆挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆的“外背面”．若位于椭圆的“外背面”，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，求证：．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 直线，，若，则 10. 已知点P在⊙O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ） A. 线段AP长度的最大值是5 B. 满足的点P有且仅有2个 C. 过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点（12，1） D. 2|PA|+|PB|的最小值为 11. 如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（ ） A B. C. 当直线斜率为时， D. 12. 已知棱长为1的正方体中，为正方体内及表面上一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当 时，与平面所成角最大值为 B. 当时，恒成立 C. 存在，对任意，与平面平行恒成立 D. 当时，的最小值为 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 13. 两条平行直线与间的距离______________． 14. 已知，，，且共面，则x值为_____． 15. 已知点，圆上恰有两点满足，则r的取值范围是__________． 16. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为____________． 四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17 三棱柱中，，．设，，． （1）试用表示向量； （2）若，，求的长． 18. 如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是为线段AB上的动点． （1）当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程； （2）求线段CD的中点M的轨迹方程． 19. 已知圆过点，且圆与两坐标轴均相切． （1）求圆的标准方程； （2）若半径小于的圆与直线交于、两点，____，求的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 20. 已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中），都有为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由． 21. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记． （1）问a为何值时，MN的长最小？ （2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 22. 已知椭圆的离心率为，且过点.点P到抛物线的准线的距离为. （1）求椭圆和