专题7-3 解三角形中的最值与范围问题-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题7-3 解三角形中的最值与范围问题 一、三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。 二、边化角与角化边的变换原则 在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： (1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置； (5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； (6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理． 2022·全国甲卷（理&文）T16 1． 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 2022·新高考1卷 2． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B；(2)求的最小值． 2020·浙江卷 3． 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 2019年全国Ⅲ卷·文·理T18 4． 的内角的对边分别为，已知． （1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 2018·北京卷 5． 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B= ；的取值范围是 . 2018·江苏卷 6． 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 重点题型·归类精讲 题型一 由不等式求最值 角平分线相关 1． （多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值是2 C．的最小值是 D．的面积最小值是 2． （2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________. (1)求A； (2)若内角A的角平分线交BC于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分） 中线相关 3． （2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值. 浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟 4． 在中，角,,的对边分别为,,，若，边的中线长为1． （1）求角；（2）求边的最小值． 福建省厦门双十中学高三上学期期中 5． 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小；（2）设点是的中点，若，求的取值范围. 定角定高 6． 如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值. 对式子变形后利用基本不等式求最值 7． 在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小. 湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研 8． 已知的角对边分别为，. (1)求；(2)若，求的取值范围. 题型二 构造函数求范围 9． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求的取值范围． 2024届·雅礼中学月考（二） 10． 记锐角的内角的对边分别为，已知． (1)求证：；(2)若，求的最大值． 2023届河北省唐山市三模 11． 记的内角的对边分别为，已知为钝角，. (1)若，求；(2)求的取值范围. 12． （2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知. (1)求；(2)若，求的取值范围. 2023届广东江门市一模 13． 在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列. (1)求的值；(2)若，求的取值范围. 2024届常德市一中校考 14． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 2024届长沙一中月考（一） 15． 在锐角中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围. 2024届长沙一中月考（二） 16． 的内角A，B，C所对边分别为a，