专题5-4 向量中的隐圆问题-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题5-4 向量中的隐圆问题 目录 知识点梳理：构隐圆的几大角度 1 题型一 定值圆（由模长是定值构造圆） 3 题型二 直径圆（两向量垂直构造圆） 4 题型三 外接圆（定边对定角构造圆） 6 题型四 对角互补构造圆 6 题型五 向量与阿氏圆 7 题型六 向量圆（极化圆） 7 题型七 其它隐圆 8 题型八 设点坐标，构造函数求最值 8 构隐圆的几大角度 角度一、定值圆（由模长是构造圆） 记A，B，C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆 有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 角度二、直径圆 圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等． 角度三、外接圆（定边定角） 均为定值时，可以构造圆 在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题． 角度四、四点共圆（对角互补） 圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 角度五、比例圆(阿波罗尼斯圆) 在平面上给定两点A，B，设点P满足λ，则当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．在向量问题中，若|a|=λ|b|(λ>0且λ≠1)，即两个向量的模长呈现一定的比例时，可以考虑构造阿波罗尼斯圆进行解题 角度六、向量圆（极化恒等式） 若(λ≠0且λ∈R)，其中点P为动点，A，B为两个定点，则点P的轨迹为圆． 简证：取AB中点M，，故PM为定值 以此为突破口，可以将向量的最值与范围问题转化为圆的最值与范围问题进行求解．值得注意的是，在向量问题中也表示为(c－a)·(c－b)＝λ，其中a，b为定向量． 角度七、其它隐圆 极化恒等式和型： 定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 定幂方和型 若为定点，，则的轨迹为圆． 证明： ． 重点题型·归类精讲 题型一 定值圆（由模长是定值构造圆） 1． 平面内非零向量a，b，c，有，，ab＝0且，则的最大值为______． 2． 已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是 A． B． C． D． 3． 平面内非零向量，，，有，，．且，则的最大值为 　7　． 4． 已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________. 5． 已知△ABC为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（ ） 6． 已知，，若，则的取值范围是（ ） A． B．[2，4] C． D． 7． 已知平面向量满足：，，，则的取值范围是______. 8． 已知平面内非零向量，满足，，，若，则的取值范围是_______. 9． 已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝2，则(a－c)(b－c)的最大值是_______ 10． 已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______ 题型二 直径圆（两向量垂直构造圆） 11． 已知是平面内两个互相垂直单位向量，若向量满足，则的最大值为_______. 12． 设向量满足，且，则的最大值等于______. 13． 已知向量a，b，c满足：|a+b|=3，且，则|a－b|的取值范围是______. 14． 已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ） A． B．2 C． D． 15． 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是____． 16． 若都是单位向量，且，，则能的值为( ) A． B．1 C． D． 17． 已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，取值范围为　　　　． 18． 已知平面向量，若，且.若向量，且则______；若向量满足，则的取值范围是______. 19． （2023·山东青岛·统考三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 20． 已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是______