2023年重庆南开中学 二次函数 中考复习题型总结专题

二次函数题型总结专题 《二次函数》专题一——二次函数线段、周长的最值 技巧点拔 线段、周长最值问题解题核心：利用三角函数将斜线和水平线转化为铅垂线，再求最值。 一、二次函数线段最值问题 1．铅垂线最值问题解题步骤： （1）设坐标：表示出线段两个端点的坐标； （2）表长度：用上端点的纵坐标减下端点的纵坐标； （3）得函数：得到线段长关于动点坐标的二次函数； （4）取最值：配方为顶点式，根据的正负及自变量的取值范围取最值。 2．水平线段最值问题 （1）若水平线段两个端点的横坐标易表示，类似铅垂线段最值解题步骤； （2）三角函数（推荐使用）利用三角函数或相似将水平线段转化为铅垂线段，再求最值。 3．斜线段最值问题 （1）勾股法（适用于两端点坐标均为一次式） 具体步骤： ①以此线段为斜边构造直角三角形，使直角三角形的两直角边平行于坐标轴； ②设动点坐标，表示出两直角边长； ③根据勾股定理表示出斜边平方，是关于动点坐标的二次函数； ④配方为顶点式，并根据的正负及自变量的取值范围取最值。 （2）三角函数（推荐使用）利用三角函数或相似将斜线段转化为铅垂线段的若干倍，再求最值。 二、二次函数周长最值问题 1．三角形周长最值解题步骤：（通常有一条边为铅垂线，另外两条边与铅垂边夹角不变） ①设动点坐标，表示铅垂边的长度； ②利用不变夹角的三角函数或相似将另两条边长度转化为铅垂边的若干倍； ③得周长关于动点坐标的二次函数； ④配方顶点式，并根据的正负及自变量的取值范围取最值 2．其余图形周长最值问题：利用三角函数将斜线和水平线转化为铅垂线，再求最值。 典型例题 例1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与抛物线交于点两点（在右边），为直线上方的抛物线上一点（点不与点重合），轴交于点，交线段于点，交轴于点，过点作轴，交于点，设点的横坐标为的长为。 （1）求与之间的函数关系； （2）求长度的最大值，并求出此时点的坐标。 例2．如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点，点在轴上。点是直线上方的抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为。 （1） 过点作于点，求线段的最大值； （2） 过点作轴交于点，求的最大值。 例3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点。点是抛物线第象限内一动点，过点作交于交于点，交于点，当点坐标为何值时，的周长最大，求点的坐标以及周长的最大值。 巩固提高 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点。 （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点的坐标和的最大值。 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），点是抛物线的顶点。点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，交于点。 （1） 求点的坐标； （2） 若，求点的坐标； （3） 过点作，垂足为点，则当取得最大值时，求点的坐标和的最大值。 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点和点，，抛物线经过点，且与直线的另一交点为。 （1）求的值和抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且点的横坐标为轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图2）。若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值。 《二次函数》专题二——二次函数与面积问题 技巧点拔 解决二次函数与面积问题思路是“转化思想”，将不规则的图形面积转化成规则的熟悉的图形面积，常有以下三种方法 方法一：组合法 具体作法：为了计算不规则图形的面积，常常需要对图形进行分割、拼补，重新组合使它变成规则图形面积的和差。 方法二：铅垂法 具体作法：一般是过动点向定直线作坐标轴（抛物线中是平行轴）的平行线，利用斜三角形的面积等于铅垂高与水平宽乘积的一半表示面积。 方法三：切点法 具体作法：平移直线到与抛物线仅一个交点的位置，此时斜三角形的面积最大。 除以上三种方法外，若在二次函数与面积问题中出现平行线，也可考虑利用平行转化三角形的面积，达到转化计算的目的。 典型例题 例1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，点为第一象限的抛物线上的一个动点，设点的横坐标为。请问当为何值时，的面积最大，求出最大面积。 方法一： 方法二： 方法三： 例2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，直线交于点，点是直线下方抛物线上一动点，连接。连接，求面积的最大值及此时点的坐标。 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点。连接，过点作交抛物线于点为直线下方抛物线上的一个动点，连接，交线段于点，连接，求四