重难点10 椭圆方程及性质十三大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

重难点10椭圆方程及性质十三大题型汇总 技巧一. 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． 技巧二.求椭圆方程有两种方法： 1.用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a. 2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤 注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)． 技巧三.椭圆定义的应用 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示： 1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围． 2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围． 技巧四.求椭圆中焦点三角形面积的方法： ①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积 ④结论： 技巧五.和差最值 1.线段公理——两点之间，线段最短。 2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线 3.三角形两边之和大于第三边。 4.三角形两边之差小于第三边。 5.垂直线段最短 技巧六.离心率问题 1．椭圆的离心率的求法： (1)直接求a，c后求e，或利用e＝，求出后求e. (2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e. 2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集． 技巧七.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法： 联立消y得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 技巧八.弦长问题 1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2.求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为： |AB|＝＝·. 技巧九.弦中点问题的解决方法 （1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； 　②代入——代入圆锥曲线方程； 　③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； 　④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． （2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 椭圆第三定义：为椭圆上一点， 为离心率， ①为两个顶点，则； ②为关于原点对称的两点，则； 以上结论也适用于双曲线. 题型1椭圆的定义 【例题1】（23·24上·六安·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则，的最大值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 【变式1-1】1. （22·23上·凉山·期末）在平面内若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之和为，则称曲线为“美好曲线”，以下曲线是“美好曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2. （23·24上·东城·期中）设为椭圆上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，则动点的轨迹方程为 ． 【变式1-1】3. （23·24上·广州·期中）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程为 ． 【变式1-1】4. （23·24上·四平·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 . 【变式1-1】5. （22·23·西安·模拟预测）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为A，B，C，D，若，则P到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】6. （22·23下·厦门·期末）已知分别是内角的对边，，则面积的最大值是（　　） A．2 B． C．3 D．4 题型2椭圆定义的应用 【例题2】（22·23高二上·北京海淀·阶段练习）若m，