上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市曹杨二中2023学年度第一学期 高二年级期中考试数学试卷 命题人：郭天翔 审核人：汪哲意、 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟，请考生用水笔或圆珠笔 将答案直接写在试卷（或答题卷）上。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分） 1.已知三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于点0.若点P到三个平面的距离分别 为1、互、3，则OP的长为一 2.设集合A-L,2,3,4},集合B={x|x=2a-l,a∈A},则A门B= 3.若圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.·· 4.已知meR,设向量ā=(m,2,6=(4,1).若la+=l同+同，则m=一 5.在长方体ABCD-ABCD中，AB=5,4D=2；AA=3,则异面直线AB与D的距 离为 6.已知a、b为正实数，若V5是3”与的等比中项，则上+}的最小值为 a b 7.己知球的半径为5，用两个平行平面截球，所得截面面积分别为9π和16加，则这两个平 行平面之间的距离为」 8.已知正方形ABCD在平面a的同一侧，若A、B、C三点到平面&的距离分别为1、2、 3,则直线BD与平面a的位置关系为_一·（填4平行”或“相交"） 9.已知OABC是棱长为1的正四面体.若点P满足OP=xOA+yOB+zOC,其中x+yz=1, 则丽的最小值为 10.如图，求一个棱长为√2的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的 正方体截去四个角后得到.类比这种方法，一个对棱长都相等的四面体 ABCD,其三组对棱长分别为AB=CD=√5，AD=BC=√3， AC=BD=√O,则该四面体的体积为】 11.已知a>0且a≠1，设(x)=2,g(x)=logx,若对函数y=f(x)的图像上的任意一点 P,在函数y=g(x)的图像上总存在一点Q,满足OP⊥Og且Or=lOg,则a= 12,已知△ABC是边长为1的等边三角形.对于空间中任意一点M,设P为△ABC内部（含 边界)一动点，定义PM的最小值为点M到△ABC的距离，则空间中到△ABC的距离不大 于1的点形成的几何体的体积为」 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15~16题每题5分） 13.已知直线mL平面a,则“直线n⊥直线m”是“直线n∥平面a”的（) A。充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.若正三棱台的侧面与底面所成的锐二面角的大小为牙，则侧棱与底面所成角的正弦值是 (). A.v5 .25 5 c.5 .6 5 3 3 15.设k∈N,f(x)=sin 西2，π，若对任意实数a,函数y=f树在区间[a,a千3]上函 数值二出现的次数不少于2次且不多于6次，则k的值是(）· .1或2 B.2或3 C.3或4 D.4或5 16.已知正四棱柱444A-BB马B,的底面边长为2，高为3，则集合 {x水=484B,eL2,3,4,Je2,3,4中元素的个数为(）· A,1 B.2 C.4 D.8 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在空间直角坐标系中，已知4(0,1,2)、B3,-2,-1)、D1,1)· (1)若点P满足A亚=2PB,求D丽： (2)求△ABD的面积. 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在如图所示的圆柱中，AB是底面直径，PA是圆柱的母线，且PA=AB=2.设C是 底面圆周上的动点· (1)求圆柱的表面积和体积： (2)当二面角P-BC-A的大小为号时，求点C到平面PMB的距离。 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△CAP和△ABC都是等腰直角三角形，且 ACP=∠BAC=90,AC=2,二面角P-AC-B的大小为号 (1)求证：直线AB与直线PC不垂直； (2)求直线PB与平面ABC所成角的正弦值， 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 如图，长方体ABCD-ABCD中，AB=m,AD=A4=1,点M是棱CD的中点. (1)求异面直线BC与AC所成的角的大小： (2)是否存在实数m,使得直线AC与平面BMD垂直？并说明理由； (3)若m=2,设P是线段4C上的一点（不含端点），满足 =1，求1的值，使得 AC 三棱锥B-CD,C与三棱锥B-CDP的体积相等. D D A1 D B 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 对于项数为m(m之3)的有穷数列{a},若4-asa2-as…sam-1-an,则称{