二次函数与特殊三角形综合压轴题 专题提升训练 2023 年九年级数学中考复习

2022-2023学年九年级数学中考复习《二次函数与特殊三角形综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 典例引领; 例: 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形， ， 或 ， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或 ， 或 ， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或 ，或 ，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或， 或， 或， 或， 分析：（1）设，，由，则 ，求出即可求， ； （2）点在线段的垂直平分线上，再由是等腰直角三角形可得垂直的直线为，联立方程组即可求点坐标； （3）设，，由和，建立方程求出的值，即可求出答案； （4）求出顶点，，设，，分三种情况讨论：①当时，可得，；②当时，可得． ，或 ，；③当时，可得，； （5）设，，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，可得， 或， ；③当时，可得， 或， ． 解：（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则， 解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴ ， 解得 ， ∴， ； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为 ， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴ ， 或 ， ； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴， 解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴ ， ∴ ， 或 ， ， 即满足条件的点，或 ， 或 ， ； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴顶点，， 设，， ①当时，， 解得或舍， ∴，； ②当时，， 解得 或 ， ∴ ，或 ，； ③当时，， 解得， ∴，； 综上所述：点坐标为，或 ，或 ，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，， 解得， ∴，； ②当时，， 解得 ， ∴， 或， ； ③当时，， 解得 或 ， ∴， 或， ； 综上所述：点坐标为，或， 或， 或， 或， ． 点睛：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 跟踪训练： 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，请说明理由． （3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积最大时，求点P的坐标； （3）Q是x轴上一动点，M是第二象限内抛物线上一点，若以A，C，M，直接写出点Q的坐标． 3．如图1，直线y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点C与x轴的另一交点为B． （1）请直接写出该抛物线的函数解析式； （2）点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m． ①如图2，连接BD，CD，求△BDC面积的最大值； ②如图3，连接OD，将线段OD绕O点顺时针旋转90°，过点E作EF∥x轴交直线AC于F．求线段EF的最大值及此时点D的坐标． 4．如图，抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，点P是抛物线上位于第三象限内的一点． （1）求抛物线的解析式． （2）连接AP、PC、CB，求四边形APCB面积的最大值及此时P点的坐标． （3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A、C、D为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D的坐标 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，2）、B（0，