专题训练13 数列大题8种高考常见考法归类（47道）-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

专题训练13 数列大题8种高考常见考法归类（47道） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 精选2019-2023年五年各地高考真题及最新模拟题 考点一 等差数列的性质 1．（2021•乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式． 2．（2019•北京）设是等差数列，，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 3．（2023•遂川县校级一模）设数列的前项和为，，． （1）求证：是等差数列； （2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值． 4．（2023•渝中区校级模拟）已知数列满足：关于的一元二次方程有两个相等的实根． （1）求证：数列成等差数列； （2）设数列的前项和为，，，求的最小值． 考点二 等差数列的前n项和 5．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求使成立的的最小值． 6．（2021•甲卷）记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列． 7．（2019•新课标Ⅰ）记为等差数列的前项和．已知． （1）若，求的通项公式； （2）若，求使得的的取值范围． 考点三 等比数列的性质 8．（2021•全国）记数列的前项和为．已知，且． （1）证明：是等比数列； （2）求． 9．（2023•文昌模拟）等差数列中，，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的，，组合，并求数列的通项公式； （2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 10．（2023•日照三模）已知数列满足：，． （1）当时，求数列中的第10项； （2）是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由． 11．（2023•龙华区校级模拟）已知数列的各项均为正数且均不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等比数列： ②； ③是等比数列． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 考点四 数列的求和 12．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 13．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 14．（2023•天津）已知是等差数列，，． （Ⅰ）求的通项公式和； （Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则． 当时，求证：； 求的通项公式及其前项和． 15．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和． （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 17．（2023•全国）已知为等比数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和． 18．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最小值． 19．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 20．（2021•乙卷）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前项和．证明：． 21．（2021•甲卷）已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 22．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 23．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和． 24．（2020•浙江）已知数列，，满足，，． （Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； （Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，． 25．（2020•全国）设数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）证明：． 26．（2020•天津）已知为等差数列，为等比数列，，，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：；