专题14 抛物线的几何性质8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题14 抛物线的几何性质8种常见考法归类 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 2．抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径． 因为通过抛物线（）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为．这就是抛物线标准方程中的一种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出，刻画了抛物线开口的大小，值越大，开口越宽；值越小，开口越窄． 3.焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为． （1）抛物线，． （2）抛物线，． (3)抛物线，． (4)抛物线，． 注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 4.直线与抛物线的位置关系 （1）直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． （2）以抛物线与直线的位置关系为例： ①直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点． ②直线的斜率存在． 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． 1）若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． 2）若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 5.直线与抛物线相交弦长问题 （1）弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． ①弦长公式：（为直线的斜率，且）． ②， ③直线的方程为． 6.点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外 7.焦点弦 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 由抛物线的标准方程求几何性质 考点二 由抛物线的几何性质求标准方程 考点三 直线与抛物线的位置关系 考点四 弦长问题 考点五 中点弦问题 考点六 抛物线的焦点弦问题 考点七 最值问题 考点八 定点定值问题 考点一 由抛物线的标准方程求几何性质 1．（23·24高二上·上海浦东新·期中）抛物线的准线方程为 ． 2．（23·24高二上·天津红桥·期中）抛物线关于直线对称之后的抛物线焦点坐标是 ． 3．（23·24高三上·湖南·阶段练习）圆的圆心在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23·24高二下·云南昭通·期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（    ） A．-4 B． C． D．-32 5．（23·24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则 . 考点二 由抛物线的几何性质求标准方程 6．（23·24上·保定·阶段练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是轴，经过点． 7．【多选】（23·24上·连云港·期中）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．（23·24上·景德镇·期中）以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 9．（2023高三·全国·专题练习）若点A，B在抛物线上，O是坐标原点，正三角形OAB的面积为，则该抛物线的方程是 ． 考点三 直线与抛物线的位置关系 10．（23·24高二上·上海·课时练习）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 11．（2023高三·全国·专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 . 12．（23·24上·全国·课时练习）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交