江西省宜丰中学创新部2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

2023-2024（上）江西省宜丰中学创新部高三期中考试数学试题 一、单选题（40分） 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数是方程的一个根，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．设数列满足且是前项和，且，则（    ） A．2024 B．2023 C．1012 D．1011 4．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（    ） A． B． C． D． 5．设函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．设，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．如图，在菱形ABCD中，，，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C．5 D． 8．已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（20分） 9．已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，则与相交 D．若，则 10．已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点是图像的一个对称中心 C．在的值域为 D．函数在上单调递增 11．定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（    ） A． B．为的对称轴 C． D． 12．设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若点，则的最小值是5 D．若倾斜角为，且，则 三、填空题（20分） 13．在二项式的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为 . 14．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为 . 15．袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则 . 16．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ． 四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分，写清楚必要的文字说明、计算过程，详略得当，排版布局合理） 17．在数列中，为数列的前项和，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若.求数列的前项和. 18．已知向量，，函数. (1)若，求的值； (2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 19．随着秋季学期开学，宜丰市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.宜丰县某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为. (1)求同学甲第二天选择套餐的概率； (2)证明：数列为等比数列； (3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择去A餐厅就餐的概率，求取最大值时对应的的值. 20．如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，，以为直径的圆经过点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 21．已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，． (1)的标准方程； (2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的