河南省洛阳市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题

洛阳市 2023——2024学年第一学期期中考试 高 二 数 学 试 卷 本试卷共4页，共 150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.考试结束，将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的一个方向向量是 A.(2, -3) B.(2,3) C.(﹣3,2) D.(3,2) 2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,O为上底面A₁C₁ 的中心,若 则实数x，y的值分别为A. x = 1,y = 1 是“直线 ax + 3y﹣ 1 = 0 与直线6x +4y﹣3 =0 垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1 米后，水面宽为 米 米 米 米 5.若过点(1，2) 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线x ﹣y﹣5 =0的距离为 C. D. 6.已知直线l:x + ycosθ-3 = 0,则l的倾斜角α的取值范围是 A.[0,π) 7.已知直线3x +2y﹣6 =0分别与x,y轴交于A,B两点,若直线x+y﹣1 =0上存在一点 C,使|CA|+|CB| 最小,则点 C 的坐标为 8.如图，二面角α-l-β的棱上有两点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l,若AB = 2,AC = 3,BD = 4,CD = ,!则二面角α-l-β的大小为 A. B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中,E,F 分别是侧面AB₁,底面A₁C₁ 的中心,则下列结论正确的是 A. EF ⊥ DB₁ B. EF ∥ 平面ACD₁ C.异面直线 EF 与AC所成的角为60° D.直线 EF 与平面ABCD所成的角为60° 10.直线y = x + b 与曲线 恰有一个交点，则实数b可以为 A.1 B. - 1 C. 11.已知点A(2,2),E,F 为圆 上的动点，且 若圆C 上存在点 P，使得 则n的值可以是 12.已知圆心为O的圆 与圆心为C的圆 相交于A，B 两点，则下列说法正确的是 A.直线AB 的方程为2x +4y﹣5 = 0 B. O,A,C,B 四个点在同一个圆上 C.四边形 OACB的面积为 10 D. 圆 O 与圆 C 围成的公共部分的面积为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。 13.若圆 关于直线x +3y - 2 = 0 对称,则 m = . 14.已知直线ax +y-2 - a = 0 在x,y轴上的截距相等,则 a = . 15.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱 ∠A₁AB = ∠A₁AD = 120°,则AC₁ 的长为 . 16.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,且AB = AQ = 1,平面ABCD⊥平面ADPQ,E,F分别为AB,BC的中点,M为线段PQ上的动点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值最大时，EM = . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 已知直线l₁:ax +y﹣2 =0和直线l₂:3x +y+b = 0 交于点M(l,l),求满足下列条件的直线l的方程. (1) 直线l 经过点M(1,1),点N(b,﹣a); (2)l∥l₁，且l与两坐标轴围成的