福建省福州格致中学2024届高三上学期期中考试数学试题

福州格致中学2023–2024学年第一学期期中 高三数学质量检测 （完卷时间：120分钟 全卷满分：150分） 一、单选题（每小题5分） 1. 若复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 满足等式的集合X共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知，命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在区间的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分） 9. 已知定义域为的偶函数，使，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ） A. 与为共面直线 B. 平面∥平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 与平面所成角的正切值为 12. 将两圆方程作差，得到直线的方程，则（ ） A. 直线一定过点 B. 存在实数，使两圆心所在直线斜率为 C. 对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直 D. 过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 三、填空题（每小题5分） 13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知点和，P为直线上的动点，则的最小值为__________． 15. 椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________. 16. 函数的部分图象如图所示，若，且，则___________，___________. 四、解答题（17题10分，18-22题每题12分） 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求的值及函数的单调递减区间； （2）将函数图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象.若在上至少含有10个零点，求的最小值. 18. 已知椭圆离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是3． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 19. 已知数列满足. （1）证明为常数列，并求数列的通项公式； （2）设为数列落在区间内的项的个数，求数列的前项和. 20. 如图，在三棱锥中，平面，，，是的中点，为上的动点． （1）证明：平面 平面； （2）平面时，求平面与平面夹角的余弦值． 21. 已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设直线不经过点且与椭圆相交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 22. 已知函数. （1）讨论单调性; （2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 福州格致中学2023–2024学年第一学期期中 高三数学质量检测 （完卷时间：120分钟 全卷满分：150分） 一、单选题（每小题5分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（每小题5分，部分选对得2分，错选不得分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BC 【12题答案】 【答案】BCD 三、填空题（每小题5分） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 四、解答题（17题10分，18-22题每题12分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在，该直线方程为 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析， （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明见解