北京市第八中学2024届高三上学期期中练习数学试题

2023-2024学年度第一学期期中练习题 年级：高三科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为 A. B. C. D. 3. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中，若a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，下列判断正确的是（ ） A. 若a方向向量与α的法向量垂直，则； B. 若，，则； C. 若，，，则； D. 若α，β相交但不垂直，，则在β内一定存在直线l，满足． 5. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点为坐标原点，点，若函数及的图象与线段分别交于点，，且，恰好是线段的两个三等分点，则，满足． A. B. C. D. 8. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 9. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．则哪种方案能通过考试的概率更大（ ） A. 方案一 B. 方案二 C. 相等 D. 无法比较 10. 如图，已知正方体的棱长为，、分别是棱、上的动点，设，.若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知直线，．若，则实数的值是_______． 12. 等差数列的前n项和为，，，则___________ 13. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移_____个单位长度得到． 14. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作垂线与轴交于，两点，若，则__________． 15. 对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质. （1）下列函数中具有性质的有___________. ① ② ③，（） ④ （2）若函数具有性质，则实数的取值范围是___________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值，进而再求的取值范围． 17. 随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照，，，，，分组，并整理得到如下频率分布直方图： 根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级： 学习时间：（分钟/天） 等级 一般 爱好 痴迷 （1）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率； （2）从这两组“痴迷”同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望； （3）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值与的大小，及方差与的大小．（只需写出结论） 18. 羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题： （1）求证：平面CDE； （2）求二面角的余弦值． （3）在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 条件①：平面平面ABCD； 条件②：平面平面ABCD； 条件③：． 19. 已知椭圆W：的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点． （1）求椭圆W的方程； （2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线的方程； （2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围； （3）若函数存在最小值，直接写出a的取值范围． 21. 设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． （1）若，写出经过变换后