专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题04 点到平面的距离(典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：等体积法求点到平面的距离 2 题型二：利用向量法求点到平面的距离 5 三、专项训练 8 一、必备秘籍 1、等体积法求点到平面的距离 （1）当点到面的距离那条垂线不好作或找时，利用等体积法可以间接求点到面的距离，从而快速解决体积问题，是一种常用数学思维方法 （2）在用变换顶点求体积时，变换顶点的原则是能在图象中直接找到求体积所用的高，有时单一靠棱锥四个顶点之间来变换顶点无法达到目的时，还可以利用平行关系（线面平行，面面平行）转换顶点，如当线面平行时，线上任意一点到平面的距离是相等的，同理面面平行也可以变换顶点 2、利用向量法求点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 二、典型题型 题型一：等体积法求点到平面的距离 1．（23·24高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，边长为1的正方形中，分别是的中点，沿把这个正方形折成一个四面体使三点重合，重合后的点记为.则在四面体中，点到平面的距离为 .    2．（23·24高二上·上海虹口·期中）如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，，圆O的直径，圆柱的高． (1)求圆柱的体积； (2)求点A到平面的距离． 3．（17·18高二下·河北唐山·期末）如图，已知长方体中，，，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．    (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离； 4．如图，在正方体中，.    (1)求证：∥平面； (2)求点到面的距离. 5．（23·24高二上·江西九江·阶段练习）如图所示的五边形中是矩形，，沿折叠成四棱锥. (1)从条件①；②；③中任选两个作为补充条件，证明：平面平面： (2)在（1）的条件下，求点到平面的距离. 6．（23·24高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，其中，，底面，，为的中点，为的中点.    (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 7．（23·24高二上·上海杨浦·期中）如图,为菱形外一点,平面,,为棱的中点. (1)求证:平面; (2)若,求到平面的距离. 题型二：利用向量法求点到平面的距离 1．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，N是的中点，P是的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23·24高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面面，. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 3．（23·24上·沧州·阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是矩形，，，且底面，若边上存在异于的一点，使得直线．    (1)求的最大值； (2)当取最大值时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当取最大值时，求点到平面的距离． 4．（23·24上·北辰·期中）如图，且且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离． 5．（重庆市部分区2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在正方体中，．    (1)求证：； (2)求点到平面的距离． 三、专项训练 一、单选题 1．（23·24高二上·陕西·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（23·24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（23·24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（23·24上·邯郸·阶段练习）在正三棱柱中，，点分别为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23·24上·绍兴·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为的三等分点靠近C点，则点E到平面BDF的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23·24高二上·北京·阶段练习）如图，在长方体中，，点B到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 7．（23·24高二上·湖南益阳·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 8．（23·24高二上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如“堑堵”指底面为直角三角