专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题03 平面与平面所成角（二面角）（含探索性问题） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：求二面角 2 题型二：已知二面角求参数 4 题型三：求二面角最值（范围） 7 三、专项训练 9 一、必备秘籍 1、二面角的平面角定义：从二面角棱上任取一点，在二面角的两个半平面内分别作 棱的垂线、,则称为二面角的平面角. 2、二面角的范围： 3、向量法求二面角平面角 （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 二、典型题型 题型一：求二面角 1．（22·23下·河南·模拟预测）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为BC，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 2．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，直三棱柱的体积为，的面积为．    (1)求到平面的距离； (2)设为的中点，，平面平面，求二面角的大小． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的大小. 4．（2023·河北沧州·三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 5．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如图所示，为等边三角形，平面，，，，为线段上一动点．    (1)若为线段的中点，证明：． (2)若，求二面角的余弦值． 题型二：已知二面角求参数 1．（2023·四川南充·三模）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.    (1)证明：BDCC1； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 2．（2023·吉林长春·一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．      (1)求证：； (2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积． 3．（2023·福建宁德·一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体． (1)若为的中点，求四棱锥的体积； (2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由． 4．（2023·江西九江·一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长． 5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.    (1)证明：垂直于底面. (2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值. 题型三：求二面角最值（范围） 1．（23·24高二上·山东·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，点是线段上的点，点是线段上的点，且.    (1)证明：直线平面： (2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 2．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，.    (1)证明：四点共面 (2)当点在棱上运动时（包括端点），求平面与平面夹角余弦值的的取值范围. 3．（23·24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图（1），在矩形中，，为线段的中点，将沿直线AE折起，使得，如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)已知点H在线段AB上移动，设平面ADE与平面DHC所成的角为，求的取值范围. 4．（23·24高二上·四川遂宁·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段､的中点.    (1)求证：平面； (2)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 三、专项训练 1．（23·24高二上·北京房山·阶段练习）已知长方体中，，，则平面与平面所成锐二面角的正切值为（     ） A． B． C． D． 2．（23·24高二上·山东济南·阶段练习）如图所示，是棱长为6的正方体，分别是棱上的动点，且，当四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23·24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D．