专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)-【解题思路训练】2024年高考数学复习解答题提优秘籍（新高考专用）

专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题） (典型题型归类训练) 目录 一、必备秘籍 1 二、典型题型 2 题型一：求线面角 2 题型二：已知线面角求参数 5 题型三：求线面角最值（范围） 8 三、专项训练 10 一、必备秘籍 1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影. 注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上. 如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影. 2、直线和平面所成角：（有三种情况） （1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为； （2）直线与平面垂直时，它们的所成角为； （3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0. 结论：直线与平面所成角的范围为. 3、向量法 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，. 二、典型题型 题型一：求线面角 1．（22·23上·河南·模拟预测）在三棱台中，平面ABC，，．    (1)证明：平面平面； (2)记的中点为M，过M的直线分别与直线，交于P，Q，求直线PQ与平面所成角的正弦值． 2．（22·23上·河南·模拟预测）已知中，，，，，将沿折起，使点A到点处，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 3．（23·24·柳州·模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 4．（23·24上·南充·模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形．    (1)若点是的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值． 5．（23·24上·浙江·一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．    (1)若是中点，求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 题型二：已知线面角求参数 1．（22·23下·抚顺·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，，侧面ABFE为正方形，，M为AB的中点，．    (1)证明：； (2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数λ的值． 2．（22·23下·江苏·一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值. 3．（22·23下·广州·三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.    (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积. 4．（22·23·厦门·模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．      (1)求到平面的距离； (2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5．（22·23·万州·模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 6．（22·23下·荆门·模拟预测）在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 题型三：求线面角最值（范围） 1．（22·23下·乐山·三模）在直三棱柱中，，，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（21·22下·山东·模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点. (1)求证：； (2)若E，F分别是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围. 3．（20·21下·渝中·阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点． （1）证明：； （2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 4．（22·23·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.      (1)求证：平面； (2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围. 5．（22·23·海口·模拟预测）如图，四棱锥中，，，平面平面.    (1)证明：平面平面； (2)若，，，与平面