专题05 椭圆十二个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019）

专题05椭圆十二个重难点归类 一、椭圆的定义 平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作. 定义式：. 要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程 焦点在轴上，；焦点在轴上，. 说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：. 三、椭圆的图形及其简单几何性质 标准方程 图形 焦点位置 几何性质 范围 顶点 焦点 对称性 离心率 在轴上 ， 对称轴：轴，轴，对称中心： 原点 ， 在轴上 ， 注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 四、必记结论 1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处． 2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为 【重难点一 椭圆的定义】 例1．在平面直角坐标系中，，，平面中动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．直线 D．椭圆或线段 例2．若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 【跟踪练习】 练习1．已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 练习2．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 练习3．（多选）过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 练习4．在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 【重难点二 求椭圆的标准方程】 例3．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例4．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点，． （1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 【跟踪练习】 练习1．已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 练习2．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 练习3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 练习4．分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【重难点三 根据椭圆的方程求参数】 例5．“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例6．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是边长为2的正三角形，则的值是 ． 【跟踪练习】 练习1．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为 ． 练习3．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ． 练习4．已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是 ． 【重难点四 椭圆的焦点三角形】 例7．已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例8．（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与C交于P，Q两点，且点Q在第四象限，若，则（    ） A．为等腰直角三角形 B．C的离心率等于 C．的面积等于 D．直线l的斜率为 在解椭圆中焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 【跟踪练习】 练习1．已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）已知椭圆，，分