精品解析：广东省广州市六十五中2023-2024学年高二上学期期中数学试题

广州市第65中学2023-2024学年第一学期期中考试 高二数学 说明：本试卷分客观题和主观题两部分，客观题共60分，主观题共90分，全卷150分．第客观题需用2B铅笔填涂到答题卡上，主观题用黑色字迹签字笔或钢笔作答．考试时间120分钟． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 4. 平行六面体中，化简（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在圆的外部，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A B. C D. ∥ 10. 已知圆，圆，则（ ） A. 两圆可能外离 B. 两圆可能相交 C. 两圆可能内切 D. 两圆可能内含 11. 棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 12. 过直线l： 上的动点P分别作圆C1：与圆C2：的切线，切点分别为A，B，则（ ） A. 圆C1上恰好有两个点到直线l的距离为 B. |PA|的最小值为 C. 的最小值为 D. 直线l上存在两个点P，使得 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 点到直线的距离为_________． 14. 已知，，若，则________. 15. 已知实数x、y满足方程，当时，则取值范围是_________． 16. 如图：已知二面角的大小为120°，点，，于点C，于D，且，则直线AB与CD所成角的正弦值为________. 四、解答题（本小题共6小题，共70分．其中第17题10分，其余各题均为12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求BC边上的高AD所在直线的方程． 18. 已知，，为平面内的一个动点，且满足. （1）求点的轨迹方程； （2）若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度. 19. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若． （1）求； （2）求证：直线平面． 20. 已知圆C经过两点，且与y轴的正半轴相切． （1）求圆C标准方程； （2）在圆C上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E为棱AA1的中点． （1）证明：BC⊥C1E． （2）设=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距离为，求λ． 22. 在如图所示试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记（）． （1）求MN的长； （2）a为何值时，MN的长最小？ （3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市第65中学2023-2024学年第一学期期中考试 高二数学 说明：本试卷分客观题和主观题两部分，客观题共60分，主观题共90分，全卷150分．第客观题需用2B铅笔填涂到答题卡上，主观题用黑色字迹签字笔或钢笔作答．考试时间120分钟． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：A. 2