精品解析：北京市第五中学2024届高三上学期第二次阶段检测（期中）数学试题

2023～2024学年度第一学期第二次阶段检测试卷 高三数学 一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则// D 若，则 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 0是的极值点 C. 在上有且仅有1个零点 D. 的值域是 7. 《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（ ） A. 5立方丈 B. 20立方丈 C. 40立方丈 D. 80立方丈 8. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知抛物线的准线方程为，则______. 12. 已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为___________． 13. 函数的图像向左平移_______个长度单位得到函数的图像，若函数在区间单调递增，则的最大值为_______ 14. 北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S（单位：），则S的最大值为___________. 15. 对于函数，下列4个结论正确的是______. ①任取，都有； ②，对一切恒成立； ③若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则； ④函数有5个零点 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在四边形中，，且,． （1）求的长； （2）若 ，求的面积． 从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面垂直，如果垂直，求此时点到平面的距离，如果不垂直，说明理由． 18. 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如下： 序号 智能体温计 测温（） 水银体温计 测温（） 序号 智能体温计 测温（） 水银体温计 测温（） 01 36.6 36.6 11 36.3 36.2 02 366 36.5 12 36.7 36.7 03 36.5 36.7 13 36.2 36.2 04 36.5 36.5 14 35.4 35.4 05 36.5 36.4 15 35.2 35.3 06 36.4 36.4 16 35.6 35.6 07 36.2 36.2 17 37.2 37.0 08 36.3 36.4 18 36.8 36.8 09 36.5 36.5 19 36.6 36.6 10 36.3 36.4 20 36.7 36.7 （Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率； （Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机