专题二 线段的计算中体现的数学思想-2023-2024学年七年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

七年级数学上分层优化堂堂清 第四章 几何图形初步 专题二 线段的计算中体现的数学思想 类型一 方程思想 方程的思想,是对于一个问题用方程解决的应用,也是对方程概念本质的认识,是分析数学问题中变量间 的等量关系,构建方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题. 1 .如图，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为39，求线段BC的长. 2 .如图，N为线段AC中点，点M、点B分别为线段AN、NC上的点，且满足AM：MB：BC＝1：4：3． （1）若AN＝6，求AM的长． （2）若NB＝2，求AC的长． 3 .如图，点B，D在线段AC上，BDAB，ABCD，线段AB、CD的中点E、F之间的距离是20，求线段AC的长． 4 .已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上． （1）若AB＝6，BDBC，求线段CD的长度； （2）点E是线段AB上一点，且AE＝2BE，当AD：BD＝2：3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系？请说明理由． 5 .如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，求AC的长度． 总结：在计算线段长度问题时，已知线段的和差关系或比例关系时，可以将关键线段设未知数，并用所设未知数表示其他线段，建立方程模型解决问题。 类型二 分类讨论思想 分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。 1 .如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且cm，cm． （1）图中共有______条线段？ （2）求AC的长； （3）若点E在直线AD上，且cm，求BE的长． 2 .已知线段AB＝5cm，BC＝3 cm，且A，B，C在同一直线上，则AC的长为（ ） A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上答案都不对 3 .已知线段AB＝12 cm，直线AB上有一点C，且BC＝6 cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长． 4 .已知线段AB＝6，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝2PB，点Q为PB的中点，求线段AQ的长． 5 .如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．若AB＝24，CD＝10，求MN的长． 总结：当题目条件中没有图形，位置不确定时，或者有些条件的表述不明确时，通常需要分类讨论，分类的标准是对不确定的几种可能情况进行分类。 类型三 整体思想 整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。 1 .（1）已知如图，点C在线段AB上，线段AC=10cm，BC=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长度； （2）若C为线段上任意一点，而且满足AC+CB=a cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由； （3）若点C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB=b cm，点M、N分别是AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 2 .如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点． （1）如果AB＝14cm，AM＝5cm，求BC的长； （2）如果MN＝8cm，求AB的长． 3 .如图，点P在线段AB的延长线上，点C为线段AB的中点．试探究PA+PB与PC之间的数量关系，并说明理由． 4 .如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长． （2）若AB＝a，CD＝b，请用含，b的式子表示出MN的长． 5 .如图，点C，D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝12，则线段AB的长为 　 　． 总结：在求线段长度的过程中，若发现该线段分成的几条线段长无法直接求出，（或者直接求出非常复杂），可考虑整体思想，分析出要求的线段整体上与已知线段之间存在的数量关系。 类型四 利用数形结合思想、方程思想解决动态问题。 数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽 象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的 本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合 1 .如图，数轴上A、B所对应的数分别为﹣5、10，O为原点，点C为数轴上一动点且对应的数为x．点P以每秒2个单位长度，点Q以每秒