专题三 角度计算中的常见模型-2023-2024学年七年级数学上册同步讲义+强化训练堂堂清（人教版）

七年级数学上分层优化堂堂清 第四章 几何图形初步 专题三 角度计算中的常见模型 类型一 双角平分线模型  双角平分线模型 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：. 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：. 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：. 例1 如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 例2 如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（    ） A．1° B．2° C．4° D．8° 例3 如图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答． A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ． B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）． 类型二 折叠模型 折叠的实质就是角平分线模型。折痕就是角平分线 例4如图，将一张长方形纸片ABCD分别沿着BE，BF折叠，使迈AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠ABE+∠CBF等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．60° 例5有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处． （1）如图，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由． （2）当∠A′EB′＝∠B′EB时，设∠A′EB′＝x． ①试用含x的代数式表示∠FEG的度数． ②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由． 例6．长方形如图折叠，D点折叠到的位置，已知，则（    ） A． B． C． D． 例7如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．    例8、综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． (1)知识初探：如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． (2)类比探究：如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 例9、综合与探究 阅读材料：如图是七年级上册课本135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 知识初探： (1)如图1，已知是锐角内部的一条射线，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，将折叠，使射线和射线重合，为折痕，若，，求的度数． 类比探究： (2)如图2，在长方形纸片中，点E，F分别在边，上，连接，将折叠，使点A落在点G处，平分，若，求的度数（用含的式子表示）． 类型三 三角尺组合模型 三角板有两种，一种是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一种是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 例10、如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB＝160°，则∠COD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 例11、一副三角板如图放置，若，则_____，_____． 例12、在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三角板、按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（°、），并将三角板绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持． (1)在旋转过程中，如图2，当点A、C、E在同一直线上时，则____； (2)在旋转过程中，如图3，当时．请说明平分； (3)在旋转过程中，如图4，当时，求此时的度数． 例14、如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，则∠DCE 等于多少； （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小