专题12 圆中最值题：一箭穿心与瓜豆原理、将军饮马-2023-2024学年九年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

· 专题12 圆中最值题 · 一箭穿心与瓜豆原理、将军饮马 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、一箭穿心与最值：过圆心，得最值。 1．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心、半径为1的圆上的一动点，连接、．则面积的最大值是（    ）    A．21 B．33 C． D．42 2．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点P在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，a的最大值是 ． 5．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 6．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ． 7．点P到上点的最短距离为2，最长距离为6，则半径为 ． 8．阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值. 解决问题： （1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________. （2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________. （3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由. 9．如图，已知的半径是6，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 二、一箭穿心与瓜豆原理的巧妙融合 10．如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接BD，M是BD的中点，则线段CM长度的最小值为 ． 12．若，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接． (1)如图1，取点B，使为等腰直角三角形，，将点P绕点A顺时针旋转得到． ①点的轨迹是　　（填“线段”或者“圆”）； ②的最小值是　　； (2)如图2，以为边作等边（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求的最大值． (3)如图3，将点A绕点P逆时针旋转，得到点M，连接，则的最小值为　　． 13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最大值是 ．    14．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点．若B在⊙O上运动一周： （1）证明点P运动的路径是一个圆． （思路引导：要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M、r．） （2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围． 15．如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为 ．      三、一箭穿心与将军饮马的美妙融合 16．如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 ．    17．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ．    18．如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，为正方形内一动点，且，点是边上另一动点，连接，，则的最小值为 ．    19． 如图，矩形中，，，点、分别