辅优补短练习21：向量的线性运算及坐标表示——2024届高三数学一轮复习

辅优补短21：向量的线性运算及坐标表示 时间： 60分钟 班级： 姓名： 1. 已知 和点 满足 .若存在实数 使得 成立，则 ( ) A. B. C. D. 2. 直角三角形 中，斜边 长为2， 是平面 内一点，点 满足 ,则 A. B. C. D. 3. 在 中， ， 为 边上的两个动点，且满足 ，则 ( ) A. 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最大值2 D. 有最小值2 4. 已知 ， ， 是不在同一直线上的三点， 是平面 内一定点， 是平面 内一动点，若 , ，则点 的轨迹必过 的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5. 【多选题】已知 的面积为3，在 所在的平面内有两点 ， ，满足 ， ，记 的面积为 ，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 6. 我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若 , ， 为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知三点 ， ， ，其中 ， .若 是坐标原点，且四边形 是平行四边形，则 ( ) A. B. C. D. 8. 【多选题】如图所示，在 方格中，点 ， ， ， 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 9. 已知在 中， 为边 上的点，且 ，点 为 的中点， ,则 ( ) A. B. C. D. 10. 已知单位向量 ， 满足 .若点 在 内，且 ， ，则下列式子一定成立的是( ) A. B. C. D. 11. [2023届河北邢台高三上开学考试]如图所示，梯形 中， ，且 ，点 在线段 上运动，若 ，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 12. [2022年天津卷] 在 中， , ， 是 的中点， ，试用 , 表示为 ，若 ，则 的最大值为 . 参考答案 1.解：由 可得 ，故 ，所以 ，故 .故选C. 2.解：如图，取 边中点 ，连接 ，则 ， ，因此 .故选A. 3.解：设 为 的中点，如图所示. 则 ，所以 ，即 . 又因为 , , 三点共线，且 在线段 上，所以 ， ，且 ， 所以 ，当且仅当 时取等号.故选D. 4.解：设 的中点为 ，则 ，所以 ， 是 的中线，点 的轨迹必过 的重心.故选C. 5.解:由 ， ，可知点 为 的三等分点，点 为 延长线的点，且 为 的中点，如图所示. 对于A，点 为 的三等分点，点 为 的中点，所以 与 不平行，故A错误. 对于B， ,故B正确. 对于C，， 故C错误. 对于D，设 的高为 ，则 的高为 . ，即 ，则 的面积 ，故D正确.故选BD. 6.解法1：设 ,则 ，在 中，可得 . 过点 作 于点 ， 则 ， ， .所以 , .所以 . 解法2： ，移项整理得 .故选A. 7.解：因为四边形 是平行四边形，所以 ，即 ， 解得 则 .故选B. 8.解：设小方格边长为1，由题意，以 为原点建立平面直角坐标系，则可得 ， ， ， ，所以 ， ， ,代入各选项检验，可知 ， 错误， ， 正确.故选AD. 9.解： . 又 ，所以 又因为 与 不共线，所以 ， ，所以 .故选D. 10.解：（方法一）由题意 ，以 为原点， ， 的方向分别为 轴， 轴的正向建立平面直角坐标系，则 , ， ，又 ，则 ，即 . （方法二）设 ，则 ， ,则 .故选D. 11.解：（方法一） ，则 .由柯西不等式得 .也可由二次函数求解. （方法二）建立如图所示的平面直角坐标系， 则 , , , ，所以 , , . 设 ， ，所以 . 又 ， 所以 解得 所以 ，即 的最小值为 .故选B. 12.解：（方法一） ， , ，当且仅当 时取等号，而 ，所以 . （方法二）如图所示，建立坐标系. , , , ， , , , ， ，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ,所以 . 故填 ； . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$