上海市南汇中学2024届高三上学期期中数学试题

上海南汇中学2023学年第一学期期中考试 高三数学 完成时间：120分钟 命题人：宋磊 周华 审题人：严永芳 注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效. 一、填空题： 1. 已知集合，，则________. 2. 已知复数（其中为虚数单位）)，则______． 3. 已知向量，，若，则________. 4. 已知函数，则________. 5. 在△ABC中，，则A=_____. 6. 若是等边所在平面外一点，，的边长为3，则与平面所成角的大小是________. 7. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 8. 已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________． 9. 已知函数，若在区间上的最大值为，则m的最小值是____________ 10. “燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________. 11. 定义在上的函数满足，其中为的导函数，若，则的解集为________. 12. 记号表示中取较小数，如，已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数t的取值范围是______. 二、选择题 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 14. 设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、 A. 都是钝角 B. 至少有两个钝角 C. 恰有两个钝角 D. 至多有两个钝角 16. 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 三、解答题 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=2，PA=2.求： （1）三角形PCD的面积； （2）异面直线BC与AE所成的角的大小. 18. 已知函数． ⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值； ⑵当时，求单调递增区间和值域． 19. 疫情防控期间，某小微企业计划采用线下与线上相结合的销售模式进行产品销售运作．经过测算，若线下销售投入资金x（万元），则可获得纯利润（万元）；若线上销售投入资金x（万元），则获得纯利润（万元）． （1）当投入线下和线上的资金相同时，为使线上销售比线下销售获得的纯利润高，求投入线下销售的资金x（万元）的取值范围； （2）若该企业筹集了用于促进销售的资金共30万元，如果全部用于投入线下与线上销售，问：该企业如何分配线下销售与线上销售的投入资金，可以使销售获得的纯利润最大？并出求最大的纯利润． 20. 已知函数,其中. （1）求函数在点的切线方程; （2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由; （3）若关于不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围. 21. 已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，则称一次函数是的“逼近函数”，此时的称为在上的“逼近确界”. （1）验证：是的“逼近函数”； （2）已知.若是的“逼近函数”，求的值； （3）已知的逼近确界为，求证：对任意常数，. 上海南汇中学2023学年第一学期期中考试 高三数学 完成时间：120分钟 命题人：宋磊 周华 审题人：严永芳 注意：答案一律写在答题纸上，否则视为无效. 一、填空题： 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】9 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1）；（2）. 【18题答案】 【答案】⑴ ⑵单调递增区间是,值域是． 【19题答案】 【答案】（1） （2）投入线下销售的资金10万元，投入线上销售的资金为20万元时，纯利润最大，最大值为62.5万元 【20题答案】