11.3.2直线、平面平行的判定与性质讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第39讲　直线、平面平行的判定与性质 1、 基础知识 1.直线与平面平行的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 判定 一条直线与 一个平面 　　　　,  则称这条直 线与这个平 面平行 l∩α= ⌀⇒l∥α 证明 直线 与平 面平 行 如果平面外的　　　　　　　　　　　　　　平行,那么这条直线与这个平面平行  l⊄α,m⊂α且l∥m⇒l∥α 性质 如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直线的平面与这个平面　　　　,那么这条直线就与两平面的交线　　　　  l∥α,l⊂β, α∩β=m⇒l∥m 证明直线与直线平行 2.平面与平面平行的判定与性质 类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用 判定 如果一个平面内有两条　　　　分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行  l⊂α, m⊂α,l∩m=P,l∥β,m∥β⇒α∥β 证明 平面 与平 面平 行 如果一个平面内有两条　　　　分别平行于另一个平面内的两条　　　　,那么这两个平面平行  a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥a',b∥b',a'⊂β,b'⊂β,a'∩b'=P'⇒α∥β 垂直于　　　　　　的两个平面平行  a⊥α,a⊥β⇒α∥β 性质 两个平面平行,则其中一个平面内的直线必　　　于另一个平面  α∥β,a⊂α⇒a∥β 证明 直线 与平 面平 行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的　　　　平行  α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m⇒l∥m 证明 直线 与直 线平 行 2、 常用结论 1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 3.三种平行关系的转化: 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向. 3、 分类探究 探究点一　平行关系的基本问题 例1 (1)α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 (　　) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在棱BC,CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的直线的条数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 [总结反思] 解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断;(3)举反例否定结论. 变式题 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是 (　　) A.AD1∥平面EFGH B.BD1∥GH C.BD∥EF D.平面EFGH∥平面A1BCD1 (2)下列三个命题在“(　　)”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α,β为平面),则此条件是　　　　.  ①⇒l∥α;②⇒l∥α;③⇒l∥α. 探究点二　线面平行的判定与性质 角度1　直线与平面平行的判定 例2 将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥D1-ACD后得到如图7-39-3所示的几何体,已知O为A1C1的中点,求证:OB∥平面ACD1. 图7-39-3       [总结反思] 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 变式题 如图7-39-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别为AC,B1C1的中点. 证明:DE∥平面ABB1A1. 图7-39-4       角度2　直线与平面平行的性质 例3 (1)如图7-39-5,已知圆O的直径AB长为2,上半圆圆弧上有一点C,∠COB=60°,点P是劣弧AC上的动点,点D是下半圆弧的中点,现以AB为折线,将下半圆折起,形成直二面角,连接PO,PD,CD.当AB∥平面PCD时,PC的长为　　　　.  图7-39-5 (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD上一点,且CE=2DE,F为棱AA1的中点,平面BEF与DD1交于点G,与