专题04 二次函数存在性问题（四边形存在问题）-2023-2024学年九年级数学二次函数易错专题复习

二次函数易错专题复习-二次函数中存在性问题（四边形存在问题） 【易错点一：平行四边形】 二次函数中平行四边形存在性问题，是期中、期末、中考常考题型，通常都是压轴题形式出现，对学生的要求高、考试难度大，灵活应用能力强、得分率比较低，也容易错；常错的点主要是 ①平行四边形与函数结合时性质考虑不全、数形结合不到位，导致找不到点与点之间的联系，而平行四边形解法有两种:第一种（常用）是中点坐标法；第二种是平行直线法 ②能考虑到平行四边形的位置和关系式，但是不会灵活计算变通，导致丢分 【考点：平行四边形存在性问题】 方法指引：先根据函数确定四边形相关点的坐标，假设存在平行四边形，设第四个点的坐标，根据中点坐标法，找出平行四边形四点关系，列出方程，解方程，检验坐标满足情况 例题1．（2022下·江苏·专题练习）已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点F为二次函数图象上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 例变式训练1（22·23上·重庆·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； (3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 例题2．（23·24上·全国·专题练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连接．    (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标． 变式训练1．（23·24上·全国·专题练习）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，将矩形绕原点逆时针旋转，得到矩形．抛物线经过、、三个点，其顶点在直线上，直线经过点和点，点是抛物线上第一象限任意一点，过点作轴的垂线交直线于点．    (1)求的值； (2)设P点横坐标为t，求线段的长（用t的代数式表示）； (3)以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点P的坐标，如果不会，请说明理由． 针对性练习 1．（22·23上·梁平·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点E，B（E在B的左侧）．    (1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求的面积； (2)如图3，过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D、交于点F，当点P在何位置时，最大？求出最大值； (3)在（2）条件下，当最大时，将抛物线沿着射线平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由． 2．（22·23·武威·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． (3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值． 3．（23·24上·綦江·期中）如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴直线与抛物线交于点D，与直线交于点E．    (1)求直线的解析式； (2)若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由； (3)平行于的一条动直线l与直线相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）． 4．（22·23下·合肥·一模）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点A， (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线于点D，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直