精品解析：吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题

长春市2024届高三质量监测（一） 数 学 本试卷共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．答题时请按要求用笔. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆上有两点、，、分别为椭圆左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 8. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法正确的是（ ） A. 平均数约38.6 B. 中位数约为38.75 C. 第40百分位数约为35.6 D. 上四分位数约为42.6 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的任意一点，则 B. 若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为 C. 异面直线与所成角为 D. 若点为体对角线上的动点，则的最大值为 12. 已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线在点处切线的方程为__________. 14. 某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为__________． 15. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______. 16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则______. （参考数据：取.） 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，为边上中线，，，． （1）求的面积； （2）若，求． 18. 已知首项为1的数列，其前项利为，且数列是公差为1的等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 如图，在三棱锥中，，，为点在平面的射影，为的中点． （1）证明平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 20. 过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由． 21. 树人中学某班同学看到有关产品抽检的资料后，自己设计了一个模拟抽检方案的摸球实验．在一个不透明的箱子中放入10个小球代表从一批产品中抽取出的样本（小球除颜色外均相同），其中有个红球（，），代表合格品，其余为黑球，代表不合格品，从箱中逐一摸出个小球，方案一为不放回摸取，方案二为放回后再摸下一个，规定：若摸出的个小球中有黑色球，则该批产品未