专题6.1 幂函数（八个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题6.1幂函数 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 知识点2 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数． 重难点1幂函数的概念及辨析 【例1】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 判断一个函数是否为幂函数的方法： 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1. 【变式1-1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】判断下列函数是不是幂函数？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 重难点2求幂函数的解析式 【例3】已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（    ） A． B． C．1 D．或1 【例4】幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（    ） A．（） B． C． D． 一般里面幂函数中，系数为1，即可解决 【变式2-1】已知幂函数的图象经过点，则函数为（    ） A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数 【变式2-2】设幂函数的图象经过点，则下列结论：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，，其中正确的有 .（填序号）. 【变式2-3】已知幂函数的图像经过和，则 ． 重难点3幂函数的定义域及值域问题 【例5】函数的定义域为 . 【例6】已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 【变式3-1】函数，其中，则其值域为 . 【变式3-2】已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【变式3-3】已知函数，且． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 重难点4幂函数的图象应用 【例7】函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【例8】函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   解决幂函数图象问题应把握的2个原则： （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴(简记为指大图低)；在上，指数越大，幂函数图象越远离轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数与的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 【变式4-1】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【变式4-2】右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（    ）    A．，，1，2 B．2，1，， C．，，2， D．2，，， 【变式4-3】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 重难点5判断幂函数的单调性 【例9】下列函数中与函数在区间上单调性不一致的是（    ） A． B． C． D． 【例10】函数的单调减区间为 ； 需要熟记几类幂函数在第一象限内图象，然后根据定义域和奇偶性把幂函数的图象补完成即可判断幂函数的单调性 【变式5-1】下列函数中，在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】函数的单调递增区间是 . 【变式5-3】（多选）下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 重难点6比较幂值的大小 【例11】若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 比较幂值大小的方法: （1）若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．