专题2-11 双曲线解答题十一大题型汇总-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高二数学同步精讲精练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题2-11双曲线解答题十一大题型汇总 题型1弦长问题 1 题型2求直线方程问题 3 题型3面积问题 4 题型4中点弦问题 6 题型5取值范围问题 7 题型6最值问题 10 题型7定点问题 11 题型8定值问题 14 题型9定直线问题 15 题型10向量相关问题 17 题型11探索性问题 19 题型1弦长问题 【方法总结】 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 【例题1】（22·23下·遂宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 【变式1-1】1. （22·23下·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4. (1)求C的方程； (2)证明：，求. 【变式1-1】2. （22·23上·南京·阶段练习）如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程： (2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值. 【变式1-1】3. （22·23上·辽宁·期末）已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【变式1-1】4. （22·23上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长. 【变式1-1】5. （22·23下·抚顺·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为． (1)求C的方程； (2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求． 题型2求直线方程问题 【方法总结】 （1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形. 【例题2】（20·21下·漳州·阶段练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点、，点的坐标为，且的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)是否存在直线与椭圆相交于、两点，使得直线与的斜率之和为？若存在，求此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】1. （22·23下·浙江·二模）已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）. (1)求双曲线的方程； (2)设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可） 【变式2-1】2. （21·22上·镇江·阶段练习）已知双曲线：离心率为2，且过点. (1)求的方程： (2)若斜率为的直线l与交于P，Q两点，面积为，求直线方程. 【变式2-1】3. （23·24上·株洲·阶段练习）已知双曲线经过点，且其两条渐近线相互垂直． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【变式2-1】4. （23·24上·金华·模拟预测）已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若，求直线的方程． 【变式2-1】5.（23·24上·江西·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过点作直线与双曲线相交于两点，若，求直线的方程. 【变式2-1】6.（22·23上·驻马店·期末）已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程． 题型3面积问题 【例题3】（22·23上·西宁·期末）已知双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且，抛物线交双曲线的两条渐近线于O，A，B三点． (1)求双曲线的离心率； (2)求的面积． 【变式3-1】1. （22·23上·烟台·期末）已知双曲线与有相同的渐近线，为上一点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与相交于、两点，求的面积. 【变式3-1】2. （22·23上·江西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，虚轴长为4． (1)求双曲线的标准方程；