山东省青岛市西海岸新区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

2023-2024学年青岛市西海岸新区期中考试 高二数学试题 2023年11月 本试卷共6页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 说明： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，非将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂照.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答腃卡上写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 4. 坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知曲线（ ） A. 若，则为椭圆 B. 若，则为双曲线 C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于 D. 若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于 10. 阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：和点，若圆C上存在点P，使其中O为坐标原点，则t的取值可以是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A B. C. D. 直线与AC所成角的余弦值为 12. 已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则（ ） A. 的周长为 B. C. 平分线斜率为 D. 椭圆的离心率为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为_________． 14. 圆关于直线对称的圆的标准方程为___________. 15. 已知为抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点．若，则线段的长为________． 16. 是椭圆的两个焦点，是椭圆上异于顶点的一点，是的内切圆圆心，若的面积等于的面积的3倍，则椭圆的离心率为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知的三个顶点是，，． （1）求的面积S； （2）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 18. 已知椭圆的离心率为，且短轴长为． （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且弦的中点为，求的一般式方程． 19. 如图1，矩形ABCD中，，，E为CD的中点，现将，分别沿AE，BE向上翻折，使点D，C分别到达点M，N的位置，且平面AME，平面BNE均与平面ABE垂直（如图2）. （1）证明：M、N、A、B四点共面； （2）求直线AE与平面ABNM所成角的正弦值. 20. 数学家欧拉在1765年提出；三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.若的顶点A(2,0)，B(0,4)，且的欧拉线的方程为，记外接圆圆心记为M. 求： （