黑龙江省牡丹江市2023-2024学年高二上学期期中数学试题

★优高联考 高三数学试题 2023.11 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1．已知集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．函数的部分图象是（ ） A． B． C． D． 4．已知平行六面体的所有棱长都为1，且，，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数m满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数m按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A．46 B．42 C．41 D．25 7．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为，则称区间为的“k倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（ ） A．， B． C． D． 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知p：，恒成立；q：，恒成立，则（ ） A．“”是p成立的充分不必要条件 B．“”是p成立的必要不充分条件 C．“”是q成立的充分不必要条件 D．“”是q成立的必要不充分条件 10．已知函数，则（ ） A．函数有三个零点 B．若函数有两个零点，则 C．若关于x的方程有四个不等实根，，，，则 D．关于x的方程有7个不等实数根 11．已知等比数列的公比为整数，是数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列是公差为的等差数列 12．关于函数，m为常数，则（ ） A．若，则 B．当时，方程恰好只有一个实数根 C．若，总有恒成立，则 D．若函数有两个极值点，则实数 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在处的切线方程为______．（结果写成一般式） 14．已知a，b都是正数，且，则的最小值为______． 15．设数列满足，，则______． 16．已知平面向量，，满足：，，，，则向量，的夹角为______；向量在向量上投影数量的取值范围是______．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分） 记函数的导函数为，已知，． （1）求实数k的值； （2）求函数在上的值域． 18．（本小题满分12分） 在①，②，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，然后解答问题． 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________． （1）求角C； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （注：若选择多个条件，按第一个解答计分） 19．（本小题满分12分） 已知数列的首项，前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，记，若对任意正整数n，不等式恒成立，求整数m的最大值． 20．（本小题满分12分） 现有一空地，将其修建成如图所示的八边形形状的公园．已知图中四边形是周长为4的矩形，与B，与D均关于直线AC对称，直线交CD于点P，直线交AB于点Q．设，四边形AQCP的面积为S．根据规划，图中四边形AQCP区域所示的地面将硬化，剩余区域即图中阴影部分将种植树木和草皮． （1）求S关于x的函数关系式； （2）当x取何值时，阴影部分区域面积最大． 21．（本小题满分12分） 如图，已知几何体ABCDFE，底面ABCD为矩形，，平面ABCD，平面平面ABCD，点P在EF上，且，，，，． （1）求证：平面ABCD； （2）求平面PBA与平面PBC所成锐二面角的余弦值． 22．（本小题满分12分） 已知函数有两个极值点，．其中，e为自然对数的底数． （1）求实数a的取