圆锥曲线题型分类进阶练习-2024届高三数学二轮专题复习

解析几何大题进阶 一.面积问题 1. 基础版：距离×弦长 1．已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围． 2．面积关系转化为坐标关系 2.已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为. (1)求椭圆的方程； (2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值. 3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点P是椭圆E上的一个动点，且P在第一象限．记的面积为S，当时，． (1)求椭圆E的标准方程； (2)如图，，的延长线分别交椭圆于点M，N，记和的面积分别为和．求证：存在常数λ，使得成立． 3.割补法解决面积 4.已知椭圆的离心率为，上顶点为M，下顶点为N，，设点在直线上，过点T的直线分别交椭圆C于点E和点F． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线恒过定点，并求出该定点； (3)若的面积为的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？ 4.使用面积公式后转化坐标表示 5.已知椭圆与椭圆有相同离心率，椭圆焦点在y轴上且经过点. （1）求椭圆标准方程： （2）设A为椭圆的上顶点，经过原点的直线交椭圆于干P，Q，直线AP､AQ与椭圆的另一个交点分别为点M和N，若与的面积分别为和，求取值范围. 6.如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，且离心率为，设椭圆的右顶点为，点，是椭圆上异于，的两个动点，记直线，的斜率分别为，，且．    (1)求证：直线过定点； (2)设直线，相交于点，记，的面积分别为，，求的取值范围 二．同构的应用 7.已知椭圆：的上顶点为B，右焦点为F，直线与椭圆交于两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为____________． 8.如图,已知抛物线,设直线经过点,且与抛物线交于两点,抛物线在两点处的切线交于点,直线分别与轴交于两点. (1)求点的轨迹方程; (2)当点不在上时,记的面积为的面积为,求的最小值. 三.线段长度相关问题 9.已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值． 10.已知椭圆． (1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值； (2)若、在椭圆上且．求证：是定值． 11.已知椭圆：的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 12.在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：. 13.在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足．记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和． 四．与向量有关的问题 14.已知椭圆C：，，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程. 15．已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点.设， ，求的取值范围. 五．三角形的简单几何关系 16.已知椭圆的焦距为8，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点的直线与椭圆交于两点，试问直线上是否存在一点，使为正三角形，若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，请说明理由 17.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，点到直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆有两个不同的交点，为轴上一点，是否存在实数，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 六．与角度有关的问题：倾斜角和斜率 18.已知椭圆的左、右焦点分别是，且离心率为，点为椭圆上的动点，面积最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）是椭圆上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由. 19.已知双曲线： 的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为． (1)求双曲线方程； (2)设为