7.5.2 三角形内角和定理课件 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

7.5.2 三角形内角和定理 知识回顾 内容 证明 三角形内角和定理的证明 三角形的内角和等于180° 借助平行线将三个内角拼成一个平角 1.了解并掌握三角形的外角的定义． 2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算． 学习目标 课堂导入 观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？ 1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上; 2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边; 3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线. 外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角. D A B C 1 4 ∠1是△ABC 的外角 新知探究 探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？ 有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6. 探究2： △ABC的6个外角有什么关系？ ∠1和∠4是对顶角，相等； ∠2和 ∠5是对顶角，相等； ∠3和∠6是对顶角，相等. 总结 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角， C B A D 每一个三角形都有6个外角． 定理 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1= ∠2+ ∠3 D A B C 1 2 3 4 证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠2+ ∠3= 180°-∠4（等式的性质）. ∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)， ∴ ∠1 = 180°-∠4（等式的性质）， ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换). D A B C 1 2 3 4 定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角. 求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3 D A B C 1 2 3 证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3（三角形的一个外角 等于和它不相邻的两内角和）. ∴ ∠1＞∠2, ∠1＞∠3 (和大于部分). 例1 一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，∠B，∠C 应分别是21°和32°，检验工人量得∠BDC=148°，就断定这个零件不合格，这是为什么呢？ 解：如图 所示，延长CD交AB于点E ∵∠CDB 是△BDE 的一个外角， ∴∠CDB ＝∠B+∠BED. 又∵∠BED 是△AEC 的一个外角， ∴∠BED ＝∠C+∠A. ∴∠CDB=∠A+∠B+∠C=90°+21°+32°=143°≠148°. ∴可以断定这个零件不合格. 例2 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB, PC. 求证：∠BPC > ∠A. 证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）. ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），∴∠BPC＞∠A. D 例3 如图， ∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD= 2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. 你还有其他解法吗？ 方法二 如图，∠BAE+∠1=180 °， ① ∠CBF +∠2=180 ° ，② ∠ACD +∠3=180 ° .③ 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 方法三 如图所示，过点A 作射线AP，使AP∥BD. ∵ AP∥BD， ∴ ∠CBF ＝∠PAB， ∠ACD ＝∠EAP. ∴ ∠BAE+∠CBF+∠ACD＝∠BAE+∠PAB+∠EAP=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( 2 3 P ( 随堂练习 1.如图，在△ABC 中,∠B＝40°,∠ACD＝ 120°,则∠A的度数是 . 80° 2.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°， BD平分∠ABC，则