精品解析：湖南省长沙外国语学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题

长沙外国语学校2023年下学期高二年级期中考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ） A B. C. D. 5. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理.如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，点P为直线上的一点，点Q为圆上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线的一般式方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：和圆O：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在k使得直线与直线：垂直 C. 直线与圆相交 D. 直线被圆截得的最短弦长为 11. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确是（ ） A. B. 平面 C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变 12. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆C：，，，，为顶点，，为焦点，P为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ） A. 长轴长为4，短轴长为 B. C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点， 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知复数，则的虚部为_________． 14. 从长度为的4条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为______． 15. 圆上点到直线距离的最小值是______． 16. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 18. 已知分别三个内角得对边，且. （1）求； （2）若，求的面积. 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面. （1）证明：平面平面； （2）设，，求二面角的余弦值． 20. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 21. 已知椭圆离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 22. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值; （2）解关于的不等式; （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙外国语学校2023年下学期高二年级期中考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程求解即可. 【详解】由于椭圆标准方程为：. ，，所以，则. 又，所以焦点在轴上，故焦点坐标为：. 故选：C. 2. 若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质即可求解. 【详解】设的倾斜角为，易得