山东省青岛第一中学2023-2024学年高三上学期第一次模块考试数学试题

青岛一中2023-2024学年度第一学期第一次模块考试 高三数学 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 满分150分，考试时间120分钟 注意事项：（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明.） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题卷上答题无效，考试结束时只交答题卡. 第Ⅰ卷（总分60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知是平面向量，下列命题中真命题的个数是 ① ② ， ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ） A. 30 B. 90 C. 170 D. 341 5. 函数，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，取得最大值 B. 在区间单调递增 C. 在区间单调递减 D. 的一个对称轴为 6. ，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是（ ） ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数在上有个零点，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质P（t），若数列的通项公式为，且具有性质P（t），则t的最大值为 A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 记数列的前n项和为，则下列条件中一定能得出是等比数列的有（ ） A. B. C D. 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 为奇函数 B 对任意，都有 C. 对任意，则有 D. 若函数与无交点，则实数的取值范围是 11. 在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（ ） A. 已知且 B. 已知且 C. 已知且 D. 已知且 12. 如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，点P到平面的距离为 C. 直线与所成的角可能是 D. 若二面角的平面角的正弦值为，则或 第Ⅱ卷（总分90分） 三、填空题，本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则__________. 14. 已知数列的前n项和为，若，则______. 15. 过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且AB，AC，AD两两夹角都为60°，若，则该球的体积为______． 16. 已知函数与的图像如下图所示，设函数. 给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有三个零点. 其中，所有正确结论序号是_____________ . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知函数f（x）cos（2x）﹣2sinxcosx. （1）求f（x）的最小正周期及对称中心； （2）当x∈（]时，求f（x）的值域. 18. 已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn大于2020的最小自然数n. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由. 问题：是否存在，它的内角、、所对的边分别为、、，且，，___________？ 20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长. 21. 已知数列的前项和为，且，，数列满足，其中. （1）分别求数列和的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前