精品解析：四川省绵阳中学2026-2027学年高三上学期一诊模拟数学试卷

绵阳中学高三一诊模拟数学试题 本试卷共四道大题，满分150分. 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合，集合，检验中元素是否属于： 时，； 时，； 无法表示为（）的形式，故中仅有，. 选项A：，即中所有元素都属于，不成立. 选项B：，即中所有元素都不属于，不成立. 选项C：，等价于，不成立. 选项D：因为中存在元素，故并集不等于，成立. 2. 命题“”的否定为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题“”的否定为. 3. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】奇函数定义域关于原点对称，故，得，又，所以， 从而． 4. 声强级是声强与基准声强的比值的常用对数乘以10，即声强级，其中为声强，为基准声强.若人正常交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强是人正常交谈时声强的倍，则这种火箭发射时的声强级约为（　　） A. 150dB B. 285dB C. 145dB D. 235dB 【答案】C 【解析】 【详解】设交谈声强为，火箭声强为， 人正常交谈时的声强级约为45dB，即 又因为一种火箭发射时的声强是人正常交谈时声强的倍， 则 故火箭发射时的声强级约为45＋100＝145dB. 5. 已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，利用辅助角公式整理，再将整理成与相同结构，比较得到结果. 【详解】已知是的零点，因此， 代入得： ，即 ，解得， 所以 又 所以将向左平移个单位长度得到函数的图象， 6. 曲线（其中）在处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或0 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由切线方程得与；按、分类去掉绝对值写出，分别与联立解出，两种情形均得. 【详解】由题得， 若，当时，，， 所以，所以，； 若，当时，，， 所以，所以，. 7. 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据恒成立得出，再根据常值代换结合基本不等式计算最小值即可. 【详解】对于恒成立，且均单调递增， 则， 所以，所以 则， 当且仅当，即，取的最小值为2. 故选：B. 8. 已知数列满足，，则的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证明单调递增，然后由已知等式拆分，从而完成求和，再确定出即得结论. 【详解】由，得， 所以数列为单调递增数列. ， 所以． 所以 ． 因为，，，，，所以， ，，所以的整数部分是2． 故选：B 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）每小题有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，满足，，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据对数函数的单调性和定义域得到，再结合，利用不等式性质、指数函数单调性、作差法逐项判断即可.  【详解】 选项A：对数函数的定义域为，且在定义域上单调递增，由可得，A正确. 选项B：由可得，又，所以，B错误. 选项C：指数函数是上的单调递增函数，由可得，因此，C正确. 选项D： . 由，可得，，， 所以，即，D正确. 10. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 若是单调递增数列，则最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项由等差数列的定义即可做出判断；B选项由数列定义得出等式，由等差中项化简求得；C选项由B选项中的结论结合等差中项和求得，由定义得出代数式，再化简得到结论；D选项列出一个满足条件得数列，得到最小值不是即可否定. 【详解】设数列的公差为. A选项：由题意可知，当时，，则，则，∴是等差数列，A选正确； B选项：，即，在等差数列中，∴，∴，B选项正确； C选项：由B可知当时，，又∵， ∴，∴，C选项正确； D选项：当时，是单调递增的等差数列，∵，∴最小值为，D选错误. 故选：ABC. 11. 已知函数、的定义域均为，是奇函数，且，，则（　　） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过条件确定函数的周期性和奇偶性，再逐项判断即可. 【详解】由为奇函数，有，即，① 也即， 故. 又，得， 所以， 所以，即，② 故， 同时由①②得，为偶函数， 故A正确. 由为奇函数，得， 结合，令得，B错误. 设，结合，， 令，得，令，得， 结合周期得， 因此：， 由，，得： ， 故C错误，D正确. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂运算性质和对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式， 故答案为： 13. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数，求得，从而求得. 【详解】函数， ， 令，得，即，； 令，得，即，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值 ，极小值点为. 所以，. 令，得， 所以，即， 所以. 因为，所以，. 所以. 14. 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先代入特殊值结合符号判断得到 ；对函数求导后构造辅助函数 ，研究其单调性与极限趋势，结合零点存在定理确定唯一极小值点 ；再利用导数为零的等式与最小值等式整体代换消去指数，求得，回代算出参数 . 【详解】由题意得在上恒成立， 所以，即. 因为， 所以令，则， 易得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又时，且， 当时，，的大致图像如图所示： 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，取得最小值， 又，联立得，所以. 四、解答题（共5小题，共77分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可知， 由（）可得（）， 所以的递增区间为（）． 【小问2详解】 由，得，因为，所以， 若，则，不合题意 若，则，不合题意 所以，所以， 所以． 16. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 【答案】（1）与具有较强的线性相关关系 （2），（千辆） 【解析】 【分析】（1）根据题干所给数据算出，，，代入相关系数计算公式计算即可； （2）根据（1）算出的结果进一步算出，再根据线性回归方程经过计算，最后把代入回归直线方程即可求解． 【小问1详解】 已知，，则， ，则， ，，所以， 已知，故， 又，代入相关系数公式， 可得， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． 【小问2详解】 根据， 由（1）可知，，所以， 由，已知，，，则， 所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）． 17. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和， （2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解. 【小问1详解】 由于为正项等比数列，，故，故公比， 故，则， 两式相减得， 所以 【小问2详解】 由已知得由可得，即 设， 当时，；当时， 所以当时，取最大值，即.故的最小值是. 18. 已知偶函数满足，奇函数满足． （1）请直接写出的解析式（无需求解过程）； （2）求关于m的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义求解即可. （2）先判断的单调性，然后化简不等式，求出解集即可. （3）先求出的最小值和最大值，然后结合已知条件求出范围即可. 【小问1详解】 因为偶函数满足，奇函数满足． 所以，所以，所以. ，即，所以，所以. ． 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为． 令，在上，单调递减， 所以单调递减．又因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知在上单调递减． 因为在上单调递减，所以． 解：即恒成立，， 即，解得，解，即， 解：即，因式分解得， 解得或．综合以上三个不等式的解，取交集得 因此，不等式的解集为． 【小问3详解】 ， 所以的值域为． 因为存在满足， 所以． 即，令，则， 即，因式分解得，解得或（舍去）． 所以，解得．又因为，所以． 因此，的取值范围是． 19. 设，定义函数 （1）证明：；并求时的单调区间； （2）讨论方程的不同正实根的个数； （3）当时，设该方程的最小正实根和最大正实根分别为、，令.证明： 【答案】（1）对，有， 当时，， 可得， 仅在处导数为0，其余各点导数均为正， 故在上单调递增，无单调递减区间. （2）当时，方程只有一个正实数根； 当时，方程有三个不相同的正实数根. （3）由（1）的倒数代换关系及（2）的唯一性，有，即， 令，则. 再令， 因为，所以，故， 由得，即，故， 以下将简记为，并在处补定义. 直接求导得， 构造函数，因为，且， 所以函数在区间上单调递增，，即 将两边乘以，得， 因为，所以，即，再构造， 因为，且， 所以函数在上单调递增，， 即，由整理得. 所以，即， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意代入计算可证，求导，利用导数可判断函数单调性； （2）分，两种情况，结合导数根据讨论判断求解即可； （3）结合（1），（2）可得，令，得，令，根据，得，将简记为，并在处补定义，求导可得，构造函数求导可得，再构造函数求导可得，最后计算即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得， 当时，分子可写为， 结合（1）可知函数严格递增，又，所以方程只有一个正实数根； 当时，令，有且， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，故，. 又当时，，当时，， 结合连续性和单调性，此时方程有三个不同正实根，分别位于、、； 综上：当时，方程只有一个正实数根； 当时，方程有三个不相同的正实数根. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学高三一诊模拟数学试题 本试卷共四道大题，满分150分. 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（   ） A. B. C. D. 3. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 声强级是声强与基准声强的比值的常用对数乘以10，即声强级，其中为声强，为基准声强.若人正常交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强是人正常交谈时声强的倍，则这种火箭发射时的声强级约为（　　） A. 150dB B. 285dB C. 145dB D. 235dB 5. 已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 曲线（其中）在处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或0 D. 0 7. 已知，对于恒成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列满足，，则的整数部分是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）每小题有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，满足，，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和（ ） A. 是等差数列 B. C. D. 若是单调递增数列，则最小值为 11. 已知函数、的定义域均为，是奇函数，且，，则（　　） A. 为偶函数 B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. _____． 13. 已知函数，的零点为，极值点为，则_______． 14. 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______. 四、解答题（共5小题，共77分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，，求的值. 16. 近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆） 年份 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 销量 33 69 93 129 附：相关系数； 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为， （1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001） （2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量． 17. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 18. 已知偶函数满足，奇函数满足． （1）请直接写出的解析式（无需求解过程）； （2）求关于m的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围． 19. 设，定义函数 （1）证明：；并求时的单调区间； （2）讨论方程的不同正实根的个数； （3）当时，设该方程的最小正实根和最大正实根分别为、，令.证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $