2023年九年级中考数学复习——二次函数压轴——直角、相似三角形存在问题

二次函数压轴——直角、相似三角形存在问题 一、直角三角形存在问题 解题方法： （1） 代数法： ①根据条件用坐标表示三边或三边的平方 ②以角顶点分三种情况，根据勾股定理列方程，解方程 ③根据题目条件及方程解确定坐标 （2） 几何法： ①先分三种情况进行构造：若已知边做直角边，过直角边的两端点作垂线， 则第三个顶 点在垂线上，若已知边为斜边，可取斜边为直径作圆，直角顶点在圆上 ②计算：注意题目的几何背景，如有直接的相似则表示线段长度，进行相似 求解，无直接相似则围绕顶点分别做坐标轴的平行线，构造一线三角模型进行相似求解。 课堂练习 1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 2、 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使△ACP以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 3、如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、两点. 求抛物线的解析式（关系式）； 过点作交轴于点，求点的坐标； 除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 4、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点． （1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标； （2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由； A O x y B F C 2、 相似三角形存在问题 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径： ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 课堂练习 5、抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为P（2，-1）， 在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 6、 如图，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由 7、如图，抛物线与x轴交于A（4．0），B（-2，0）两点，与y轴交于点C，点P是 线段AB上的一动点（不与点A，B重合），过点P作 PD//AC，交BC于点D，连接CP．是否存在点P，使得△PCD与△PAC相似？若存在，求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由 8、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为） （2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；y C x B A y C x B A 3、 直角三角形和相似三角形综合问题 9、已知抛物线经过及原点． （1）求抛物线的解析式． （2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 10、如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11、 如图，抛物线y＝x2＋4x＋3与x轴交于A（－3，0），B（－1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．P是对称轴左侧抛物线上的点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点D，连接PC．是否存在点P，使得以P，