专题03 二次函数存在性问题（三角形+角度问题）-2023- 2024学年九年级数学二次函数易错专题复习

二次函数易错专题复习-二次函数中存在性问题（三角形+角度问题） 【易错点一：三角形存在性问题】 二次函数三角形存在性问题，属于考试常考题型，中考经常以压轴题形式出现，期中期末也是常考题，存在性问题对学生知识点的灵活应用能力更强，要求学生不但掌握几何中三角形的问题，也要熟练应用二次函数解题，常考易错点包含 ①等腰三角形问题，学生在考虑等腰三角形时很容易忽略其中的某一种某一种情况，导致解题不完善或者没法入手 ②直角三角形问题，主要是学会在直角三角形性质和函数联系上容易错，两点距离公式不清楚，或者勾股定理应用不会等 【考点一：等腰三角形问题】 方法指引：先根据函数，确定跟三角形相关点的坐标，根据等腰三角形性质找到点与点的联系，分类讨论存在在位置，列出关系式，解方程，求坐标，证明存在或不存在 例题1（23·24上·宜春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接．若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．    变式训练1．（21·22下·江苏·专题练习）如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为． (1)求直线的表达式及抛物线的表达式． (2)求点C的坐标． (3)点在直线上，点在抛物线上．若，直接写出m的取值范围． (4)若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标． (5)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例题2．（23·24上·鞍山·阶段练习）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于两点，与二次函数图象的对称轴交于点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及这个二次函数的关系式： (2)求的面积； (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练1．（23·24上·沈阳·阶段练习）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点，关于原点的对称点分别为，，若，，，中任何三点都不在一条直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线．    (1)如图（）所示，求抛物线的伴随直线的解析式； (2)如图（）所示，若抛物线的伴随直线是，且顶点横坐标为．求此抛物线的解析式； (3)如图（）所示，若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形． 求，的值 在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 针对性练习 1．（22·23上·红河·期末）如图，已知二次函数的图象交轴于点，交y轴于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值； (3)直线（不经过点）分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，直接写出的值． 2．（23·24上·渭南·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，已知抛物线的对称轴为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022下·江苏·专题练习）如图，已知二次函数的图象经过点，且与x轴交于原点及点，点A为抛物线的顶点． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使是等腰三角形？如果存在，请求出点M的坐标．如果不存在，请说明理由； 4．（2022下·江苏·专题练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2022下·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)抛物线对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由． 6.（23·24上·鸡西·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图②，P是直线AC上的一个动点，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（23·24上·海口·阶段练