空间向量与立体几何专练-2024届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何 1.已知正三棱柱的各棱长都是2，E，F分别是，的中点，则EF的长是( ) A.2 B. C. D. 2.已知a，b为非零向量，且，，且向量m，n，p不共面，若，则( ) A.-13 B.-5 C.8 D.13 3.如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且.设，则x，y，z的值分别是( ) A.，， B.，， C.，， D.，， 4.已知，，三个向量共面，则实数( ) A. B. C. D. 5.在四面体OABC中，点M在OA上，且，N为BC的中点，若，则使G，M，N三点共线的x的值为( ) A.1 B.2 C. D. 6.如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则( ) A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面，，M为PC上一动点，.若为钝角，则实数t的值不可能为( ) A. B. C. D. 8.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，E为PD的中点，，，建立恰当的空间直角坐标系，则下列向量是平面ACE的一个法向量的是( ) A. B. C. D. 9.如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为CD，的中点，则下列结论正确的是( ) ①点F到点E的距离为； ②点F到直线的距离为； ③点F到平面的距离为； ④平面到平面的距离为. A.①②④ B.②③④ C.①④ D.①②③ 10.已知长方体中，，，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( ) A. B. C. D. 11.已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为，则( ) A. B.4 C.2 D.3 12.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为上的一个动点，则下列选项中错误的是( ) A.三棱锥的体积为定值 B.存在点G，使平面EFG C.存在点G，使平面平面 D.设直线FG与平面所成角为，则的最大值为 13.设，，若，则___________. 14.如图，在正方体中，M，N分别是棱，的中点，P是棱上靠近的四等分点，过M，N，P三点的平面交棱BC于点Q.设，则___________. 15.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________. 16.在空间四边形ABCD中，，.设直线AB与直线CD所成的角为，当二面角的大小在上变化时，的最大值是___________. 17.如图1，在平面图形ABCDE中，，，，，沿BD将折起，使点C到F的位置，且，，如图2. (1)求证：平面平面AEG. (2)线段FG上是否存在点M，使得平面MAB与平面AEG所成角的余弦值为?若存在，求出GM的长；若不存在，请说明理由. 18.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为. (1)若E为棱SA的中点，F为棱SB的中点，求证：平面平面SCD. (2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 19.如图，矩形ABCD中，，E为BC的中点，现将与折起，使得平面BAE及平面DCE都与平面ADE垂直. (1)求证：平面ADE； (2)求二面角的余弦值. 20.如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为.设M，N分别为AE，BC的中点. (1)证明：. (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：方法一：由题意知，，，又，所以，所以. 方法二：取AC的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，. 方法三：设AC的中点为G，连接GE，GF.在中，. 2.答案：B 解析：因为且，所以存在实数，使得，即，所以解得所以. 3.答案：D 解析：连接ON.由题知，， ， ，. 4.答案：D 解析：由题可设，即，所以解得 5.答案：A 解析：由题意，得，.若G，M，N三点共线，则存在实数使得 ，得解得故选A. 6.答案：D 解析：连接AG，并延长交BC于点N，连接ON，如图. 由G是的重心，可得N为线段BC的中点，且.所以.所以，所以.故选D. 7.答案：A 解析：结合题意可知AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图. 设，，则，，所以，.由，得所以.因为为钝角，所以.由，，得，.所以，整理，得，解得.故选A. 8.答案：C 解析：因为底面ABCD