精品解析：广东省广州市三校（南实、铁一、广外）2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

2023学年第一学期期中三校联考 高二数学 本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. “方程表示椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 4. 已知圆：和圆：，则圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ） A. 23天 B. 33天 C. 43天 D. 50天 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若在上投影向量，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线、的长分别为、，水深为.则玻璃容器里面水的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5份，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分， 9. 已知复数，则（ ） A. Z的虚部为3 B. C. 将Z对应的向量（O为坐标原点）绕点O逆时针旋转，得到的向量对应的复数为 D. Z共轭复数 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有3个根 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半粗圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是4 D. 的周长为 12. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得PM与异面 B. 不存在点P，使得 C. 当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D. 过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为______. 14. 如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，则该电路正常工作的概率______. 15. 设点是圆：上的动点，定点，，则的取值范围为______． 16. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球，球的半径分别为4和2，球心距离，截面分别与球，球相切于点（是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 圆经过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程． （2）过点作直线，直线与圆另一个交点是，当时，求直线的方程． 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数； （3）已知落在平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 19. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 20. 已知分别为三角形三个内角的对边，且有. （1）求角A； （2）若为边上一点，且，求. 21. 已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为