精品解析：上海市松江一中-2024届高三上学期期中数学试题

松江一中2023学年度第一学期期中考试卷 高三数学 命题教师 何振华 魏静 审核人 王瑾 2023.11 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 复数，则__________． 2. 函数的定义域是____________． 3. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 4. 函数的极值点为____________. 5. 已知函数是奇函数，当时，，则=________. 6. 已知向量与的夹角是，，，则__________． 7. 已知，，且，，则__________． 8. 设函数是增函数，若，则__________． 9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则_______． 10. 直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为_______. 11. 已知实数，满足，则的最大值为__________． 12. 已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知两个单位向量和的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数 定义域为，值域为，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 16. 对，取第1象限的点，使，，，，成等差数列，而，，，，，成等比数列.则各点、、、与射线的关系为（ ）. A. 各点均在射线的上方 B. 各点均在射线上 C. 各点均在射线的下方 D. 不能确定 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知数列是公差为正的等差数列，其前项和为；各项都为正数的等比数列满足，． （1）求数列，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 某市民活动中心内有一块以为圆心半径为米半圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在半圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点分别在圆周上，观众席为等腰梯形内且在半圆外的区域，其中，，且在点的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心处的距离都不超过米（即要求），设，. （1）当时，求舞台表演区域面积及的长； （2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？ 20. 已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 21. 已知函数，，． （1）求最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江一中2023学年度第一学期期中考试卷 高三数学 命题教师 何振华 魏静 审核人 王瑾 2023.11 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）． 1. 复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式计算可得答案. 【详解】复数，则. 故答案为：. 2. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 4. 函数的极值点为____________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用导数，结合极值点的定义得解. 【详解】， ，令