6.1.1 函数的平均变化率-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

第六章　导数及其应用 6. 1　 导　 数 6. 1. 1　 函数的平均变化率 1. 设函数 f(x)= x2 -1, 当自变量 x 由 1 变到 1. 1 时, 函数的 平均变化率是 (　 　 ) A. 2. 1 B. 0. 21 C. 1. 21 D. 0. 121 2. 在平均变化率的定义中, 自变量 x 在 x0 处的增量 Δx (　 　 ) A. 大于 0 B. 小于 0 C. 等于 0 D. 不等于 0 3. 如图是函数 y= f(x)的图象, 则函数 f(x)在区间 [0, 2] 上的平均变化率为　 　 　 　 . 第 3 题图 12 4. 在 x = 2 附近, Δx = 1 4 时, 函数 y = 1 x 的平均变化率为 　 　 　 　 . 5. 已知函数 f( x) = 2x + 1, g( x) = - 2x, 分别计算在区间 [ -3, -1], [0, 5] 上函数 f(x)及 g(x)的平均变化率. 22 由①②可知, 对一切 n∈N∗都有 an = 1 (n+1)(n+2) 成立. 14. 证明: ①当 n = 1 时, 左边 = 1, 右边 = 2, 左边<右 边, 不等式成立. ②假设当 n= k(k≥1 且 k∈N+ )时, 不等式成立, 即 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 k <2 k . 则当 n= k+1 时, 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 k + 1 k+1 <2 k + 1 k+1 = 2 k· k+1 +1 k+1 < k 2 + k+1 2 +1 k+1 = 2(k+1) k+1 = 2 k+1 . ∴ 当 n= k+1 时, 不等式成立. 由①②可知, 原不等式对任意 n∈N+都成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第六章　导数及其应用 6. 1　导数 6. 1. 1　函数的平均变化率 变式训练 1　 A　 【解析】 函数 f(x)= x 在 [0, 1] 的平均变 化率为 m1 = 1-0 1-0 = 1; 函数 g(x)= x2 在 [0, 1] 的平均变化率 为 m2 = 12 -02 1-0 = 1; 函数 h(x)= x3 在 [0, 1] 的平均变化率为 m3 = 13 -03 1-0 = 1; ∴ m1 =m2 =m3 . 故选 A. 变式训练 2 　 B 　 【解析】 在 t0 处, 虽然有 W甲 ( t0 ) = W乙( t0 ), 但 W甲( t0 -Δt) <W乙( t0 -Δt), ∴ 在相同时间 Δt 内, 甲厂比乙厂的平均治污率小, ∴ 乙厂治污效果较好. 故选 B. 变式训练 3　 解: (1) 当 x 从 200 变到 220 时, 总成本 c 从 c(200)= 540 元变到 c(220)= 626 元. 此时总成本 c 关于产量 x 的平均变化率为c(220) -c(200) 220-200 = 86 20 = 4. 3(元 /件), 它表示 产量从 x= 200 件到 x= 220 件变化时平均每件的总成本. 1. A　 【解析】 Δx = 1. 1 - 1 = 0. 1, Δy = f( 1. 1) - f(1) = (1. 12 -1) -(12 - 1) = 0. 21. 故函数的平均变化率Δy Δx = 0. 21 0. 1 = 2. 1. 故选 A. 2. D　 【解析】 函数在某点处横坐标的增量可正可负, 不确定, 但不可为 0. 故选 D. 3. 3 4 　 【解 析 】 由 函 数 f(x) 的 图 象 知, f(x) = x+3 2 , -1≤x≤1, x+1, 1≤x≤3, { ∴ 函数 f(x)在区间 [0, 2] 上的平均变化 率为 f(2) -f(0) 2-0 = 3- 3 2 2 = 3 4 . 4. - 2 9 　 【解析】 Δy Δx = 1 2+Δx - 1 2 Δx = - 1 4+2Δx = - 2 9 . 5. 解: 函数 f(x) 在 [ - 3, - 1] 上的平均变化率为 f( -1) -f( -3) -1-( -3) = [2×( -1) +1] - [2×( -3) +1] 2 = 2, 函数 f(x) 在 [0, 5] 上的平均变化率为 f(5) -f(0) 5-0 = 2. 函数 g( x) 在 [-3, -1] 上的平均变化率为g( -1) -g( -3) -1-( -3) = -2. 函数 g(x) 在 [0, 5] 上的平均变化率为g(5) -g(0) 5-0 = -2. 效果评价 1. C　 【解析】 ∵ y= x2 , ∴ Δy Δx = (1+Δx) 2 -1 Δx = Δx+2. 故 选 C. 2. D