6.2.2 导数与函数的极值、最值-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

6. 2. 2　 导数与函数的极值、最值 第 1 课时　 导数与函数的极值、 最值 1. 已知函数 f(x)的导函数的图象如图所示, 则下列结论正 确的是 (　 　 ) 第 1 题图 A. -3 是 f(x)的极小值点 B. -1 是 f(x)的极小值点 C. f(x)在区间 ( -∞ , 3) 上单 调递减 D. 曲线 y= f(x)在 x= 2 处的切线斜率小于 0 2. 若函数 f(x)= (x2 +ax+2)·ex 在 R 上无极值, 则实数 a 的 取值范围为 (　 　 ) A. ( -2, 2) B. ( -2 3 , 2 3 ) C. [ -2 3 , 2 3 ] D. [ -2, 2] 3. 若函数 f(x)= x3 -3x-1 在区间(a-2, 2a+3)上有最大值, 则实数 a 的取值范围是　 　 　 　 . 4. 已知函数 f( x) = ( x-a) ( x- 3 ) 2 ( a∈R) , 当 x = 3 时, f( x) 有极大值 . 写出符合上述要求的一个 a 的值为 　 　 　 　 . 33 5. 已知函数 f(x)= e x x -ax+alnx. (1) 若 a= 1, 求 f(x)的极值点; (2) 若 f(x)≥0, 求 a 的取值范围. 43 6. 2. 2　 导数与函数的极值、最值 第 2 课时　 利用导数求函数极值、 最值的方法 1. 函数 f(x)= x3 -3x( x <1) (　 　 ) A. 有最大值, 但无最小值 B. 有最大值, 也有最小值 C. 无最大值, 但有最小值 D. 既无最大值, 也无最小值 2. 下列关于函数 f(x)= x ex 的说法正确的是 (　 　 ) A. 没有最小值, 有最大值 B. 有最小值, 没有最大值 C. 有最小值, 有最大值 D. 没有最小值, 也没有最大值 第 3 题图 3. 函数 y = f( x)的导函数 y = f ′( x)的 图象如图所示, 则 (　 　 ) A. -3 是函数 y= f(x)的极大值点 B. y= f(x)在区间( -3, 1)上单调 递增 C. -1 是函数 y= f(x)的最小值点 D. y= f(x)在 x= 0 处切线的斜率小于 0 53 4. 已知函数 f(x) = -x3 +ax2 -4 在 x = 2 处取得极值, 若 m∈ [ -1, 1], 则 f(m)的最小值为　 　 　 　 . 5. 已知函数 f( x) = 1 3 x3 - 1 2 ax2 - 2x(a∈R) 在 x = 2 处取得 极值. (1) 求 f(x)在 [ -2, 1] 上的最小值; (2) 若函数 g(x) = f( x) +b( b∈R) 有且只有一个零点, 求 b 的取值范围. 63 令 f ′(x)>0, 解得 x∈(1, 2); 令 f ′(x)<0, 解得 x<1 或 x>2; 故 f(x)在( -∞ , 1)上单调递减, 在(1, 2)上单调递增, 在(2, +∞ )上单调递减, 故 f(x)的极小值为 f(1) = 1 e , 极 大值为 f(2)= 3 e2 . (2) 由题可知, g(x)= x 2 2 -2x-mx 2 -x+1 ex , 则 g′(x)= x-2-2mx -mx2 +x-2 ex =e x(x-2)-mx(2-x)-(x-2) ex =(x-2)(e x+mx-1) ex . 要讨论 g(x)的极值点的个数, 令 φ(x)= ex+mx-1, 先讨论 φ(x)的零点个数. 令 φ(x)= ex+mx-1 = 0, 则 m= -e x-1 x =h(x)(x>0), 故 h′(x)= -e x(x-1) +1 x2 , 令 p(x)= ex(x-1) +1, 则 p′(x)= exx>0. 故 p(x)在(0, +∞ )上单调递增, 又 p(0)= 0, 故 x>0 时, p(x) >0, 此时 h′(x) <0, 则 h(x)在(0, +∞ )上单调递减. ①当 m≥-1 时, m= -e x-1 x =h(x)(x>0)无实数解, φ(x)= ex+mx-1 = 0 在(0, +∞ )上没有实根, 故当 x ∈ ( 0, 2) 时, g′(x) < 0, 当 x ∈ ( 2, +∞ ) 时, g′(x) >0, 故 g(x)在(0, 2)上单调递减, 在(2, +∞ )上单调递增, 只有一个极值点 x= 2. ②当 m<-1 时, 且 m= 1 -e2 2 时, 此时 φ(x)= ex+mx-1 = 0 的实数解为 2, 且 g′(x)≥0, g(x)在(0, +∞ )上单调递增, 无极值点. ③当 m<-1 且 m≠1 -e2 2 时, y =m 与 h( x) = -