5.4 数列的应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

5. 4　 数列的应用 1. 有一座 7 层古塔, 每层所点的灯的盏数等于上面一层的 2 倍, 已知最上面一层点了 3 盏, 则共点盏数为 (　 　 ) A. 192 B. 381 C. 189 D. 63 2. 某小镇在今年年底统计有人口 20 万, 预计人口年平均增 长率为 1%, 那么 5 年后这个小镇的人口数为 (　 　 ) A. 20×(1. 01) 5 万 B. 20×(1. 01) 4 万 C. 20×1. 01 5 -1 1. 01-1 万 D. 20×1. 01 4 -1 1. 01-1 万 3. 一种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年, 剩 余的物质为原来的 4 5 , 则经过　 　 　 　 年, 剩余的物质是 原来的 64 125 . 4. 《周髀算经》 中有这样一个问题: 从冬至日起, 小寒、 大 寒、 立春、 雨水、 惊蛰、 春分、 清明、 谷雨、 立夏、 小 满、 芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列, 冬至、 立春、 春分日影长之和为 31. 5 尺, 前九个节气日影长之 和为 85. 5 尺, 则立夏日影长为　 　 　 　 尺. 71 5. 在 “全面脱贫” 行动中, 贫困户小王 2020 年 1 月初向银 行借了扶贫免息贷款 10 000 元, 用于自己开发的农产品、 土特产品加工厂的原材料进货, 因产品质优价廉, 上市 后供不应求, 据测算: 每月获得的利润是该月初投入资 金的 20%, 每月底缴房租 800 元和水电费 400 元, 余款作 为资金全部用于再进货, 如此继续, 预计 2020 年小王的 农产品加工厂的年利润为 (　 　 ) (取 1. 211 = 7. 5, 1. 212 = 9) A. 25 000 元 B. 26 000 元 C. 32 000 元 D. 36 000 元 81 1) 2 = (a2 +1)(a7 +3), ∴ (a3 +1+d) 2 = (a3 +1-d) (a3 +3+4d), ∴ (6+d) 2 = (6-d)(8+4d), 解得 d = 2 或 d = - 6 5 (舍去), ∴ an =a3 + ( n - 3) d = 5 + 2 ( n - 3) = 2n - 1, ∴ bn = 1 an·an+1 = 1 (2n-1)·(2n+1) = 1 2 1 2n-1 - 1 2n+1( ) . 设数列{bn}的前 2 020 项和为 S2 020 , S2 020 = 1 2 × 1 1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 4 039 - 1 4 041( ) = 2 020 4 041 . 故选 D. 15. 解: (1) 对任意的 n∈N∗ , an+1 = 2an +1, 则 an+1 +1 = 2(an+1), 且 a1 +1 = 2, ∴ 数列{an+1}是等比数列, 且首项 和公比均为 2, 故 an+1 = 2×2n -1 = 2n, ∴ an = 2n -1. ∵ 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 , ∴ bn = n+1 1×2 + n+1 2×3 + … + n +1 n(n+1) = ( n + 1 ) · 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1( ) = (n+1) 1- 1 n+1( ) =n. (2) 设数列{n·2n}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn = 1·21 +2· 22 +3·23 +…+n·2n, ∴ 2Sn = 1·22 +2·23 +…+(n-1) ·2n +n ·2n+1 , 两式相减得-Sn = 2+22 +23 +…+2n-n·2n +1 = 2(1-2 n) 1-2 - n·2n+1 = -2+(1-n)·2n+1 , ∴ Sn = (n-1)·2n +1 +2. ∵ anbn =n·(2n-1) = n·2n -n, 则 Tn = (1·21 +2·22 +3 ·23 +…+n·2n) -(1+2+3+…+n)= (n-1)·2n+1 +2-n(n +1) 2 . 由 Tn≥2(an+1)(bn-1) -1 可得(n-1) ·2n +1 +2-n(n +1) 2 ≥(n-1)·2n+1 -1, 整理可得 n2 +n-6≤0, 解得-3≤n≤2, ∵ n∈N∗ , 故 n= 1 或 2. 5. 4　数列的应用 变式训练 1　 4 3 　 【解析】 设所成等差数列的首项为 a1 , 公 差为 d, 则依题意, 有 5a1 + 5×4 2 d = 5, a1 +a1 +d=a1 +2d+a1 +3d+a1 +4d, { 解得 a1 = 4 3 , d= - 1 6 , ì î í ï